解析

• 条件提取：贴瓷砖看外侧面，分成上部正四棱柱侧面积和下部正四棱台侧面积。
• 棱柱：\(S_{\text{柱}}=4\cdot40\cdot80=12800\text{ cm}^2\)。
• 棱台斜高：上下底边长差为 \(10\)，每侧缩进 \(5\)，所以 \(l=\sqrt{10^2+5^2}=5\sqrt5\)。
• 棱台：\(S_{\text{台}}=\frac{4\cdot50+4\cdot40}{2}\cdot5\sqrt5=900\sqrt5\approx2012.46\text{ cm}^2\)。
• 结论：\(S\approx12800+2012.46=14812.46\text{ cm}^2\)，精确到 \(1\text{ cm}^2\) 为 \(14812\text{ cm}^2\)。

近似题

一个正四棱柱的底面边长为 \(30\text{ cm}\)、高为 \(60\text{ cm}\)，下面接一个正四棱台，棱台上底边长 \(30\text{ cm}\)，下底边长 \(42\text{ cm}\)，高 \(8\text{ cm}\)。求外侧面积。

解析

• 底面积作差：正六边形面积 \(S_6=\frac{3\sqrt3}{2}\cdot12^2\)，内孔面积 \(S_0=3.14\cdot5^2\)。
• 单个体积：\(V=(S_6-S_0)\cdot10\approx2956.2\text{ mm}^3=2.9562\times10^{-6}\text{ m}^3\)。
• 单个质量：\(m=7.9\times10^3\cdot2.9562\times10^{-6}\approx0.02335\text{ kg}\)。
• 数量估算：\(5.8\div0.02335\approx248.4\)，所以大约 \(248\) 个。

近似题

若六角螺母底面正六边形边长 \(10\text{ mm}\)，内孔直径 \(8\text{ mm}\)，高 \(8\text{ mm}\)，总质量 \(3.2\text{ kg}\)，密度仍为 \(7.9\times10^3\text{ kg/m}^3\)，估算数量。

解析

• 设量：设两条直角边为 \(a,b\)，斜边为 \(c=\sqrt{a^2+b^2}\)。
• 直角边为轴：绕边 \(a\) 旋转得到圆锥 \(V_a=\frac13\pi b^2a\)；绕边 \(b\) 旋转得到圆锥 \(V_b=\frac13\pi a^2b\)。
• 斜边为轴：直角顶点到斜边的高为 \(h=\frac{ab}{c}\)，形成两个同底圆锥，高之和为 \(c\)，所以 \(V_c=\frac13\pi h^2c=\frac{\pi a^2b^2}{3c}\)。
• 关系：\(V_c:V_a:V_b=\frac{ab}{c}:b:a\)，等价于 \(V_c=\frac{a}{c}V_a=\frac{b}{c}V_b\)。

近似题

直角三角形的两直角边为 \(5,12\)，分别绕三边所在直线旋转，求斜边为轴形成几何体的体积。

解析

• 体积：长方台体积 \(V_{\text{台}}=\frac23(320+\sqrt{320\cdot80}+80)=\frac{1120}{3}\)。中柱体积 \(8\cdot4\cdot20=640\)，球体积 \(\frac43\pi\cdot2^3\)。
• 底座侧面积：\(2\cdot\frac{20+10}{2}\sqrt{2^2+4^2}+2\cdot\frac{16+8}{2}\sqrt{2^2+5^2}\approx263.4\)。
• 表面积：加底面 \(20\cdot16\)、台顶露出 \(10\cdot8-8\cdot4\)、中柱侧面积 \(2(8+4)\cdot20\)、中柱顶面 \(8\cdot4\)、球面 \(4\pi\cdot2^2\)。
• 结论：表面积约 \(1194\text{ cm}^2\)，体积约 \(1047\text{ cm}^3\)。

近似题

一个奖杯由长方台底座、长方体中柱和球组成。底座下底 \(12\times10\)，上底 \(8\times6\)，高 \(2\)；中柱 \(6\times4\times12\)；球半径 \(2\)。求体积。

解析

• 条件提取：\(C\) 是圆心，\(A,B\) 在圆上，所以 \(CA=CB=R\)。设弦长 \(AB=d\)。
• 建模：\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=|AB||AC|\cos\angle BAC=dR\cos\angle BAC\)。
• 计算：由余弦定理，\(\cos\angle BAC=\frac{d}{2R}\)。
• 结论：\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\frac12d^2\)。只知道弦 \(AB\) 的长度可以求出；只知道半径不可以。

近似题

在以 \(C\) 为圆心的圆中，\(A,B\) 是圆上两点。若 \(|AB|=8\)，求 \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\)。

解析

• 条件提取：设 \(t=\sin x\)。当 \(x\in(\frac\pi6,\pi)\) 时，\(t\in(0,1]\)，且 \(t\in(\frac12,1)\) 会对应两个不同的 \(x\)。
• 建模：方程化为 \(g(t)=t-4t^2=a\)。
• 计算：\(g(1)=-3,\ g(\frac12)=-\frac12,\ g(0)=0,\ g(\frac18)=\frac1{16}\)。
• 结论：\(a\in(-3,-\frac12)\cup(0,\frac1{16})\)，选 D。

近似题

若方程 \(\sin x-3\sin^2x=a\) 在区间 \((\frac\pi6,\pi)\) 内有两个不同的解，求 \(a\) 的取值范围。

解析

• 定义域：令 \(\frac\pi3-x=\frac\pi2+k\pi\)，得 \(x=k\pi-\frac\pi6\)，A 正确。
• 周期：\(\tan u\) 的最小正周期为 \(\pi\)，B 错误。
• 单调性：\(\tan u\) 对 \(u\) 递增，但 \(u=\frac\pi3-x\) 随 \(x\) 递减，C 正确。
• 对称中心：令 \(\frac\pi3-x=k\pi\)，得 \(x=k\pi+\frac\pi3\)，D 正确。

近似题

已知 \(g(x)=\tan(2x-\frac\pi4)\)，写出定义域、最小正周期、单调区间和对称中心。

解析

• 角差：\(\sin\theta=\frac{\sqrt2}{2}\) 的相邻两解角差为 \(\frac\pi2\)，故 \(\omega|x_1-x_2|=\frac\pi2\)。
• 求 \(\omega\)：代入 \(|x_1-x_2|=\frac\pi3\)，得 \(\omega=\frac32\)，A 错。
• 求 \(\varphi\)：\(f(x-\frac\pi6)=\sin(\frac32x-\frac\pi4+\varphi)\) 为奇函数，得 \(\varphi=\frac\pi4\)，B 对。
• 判断：\(f(x+\frac\pi6)=\cos\frac32x\)，C 对；\(f(x)\) 在 \((0,\frac\pi3)\) 上不全递增，D 错。

近似题

已知 \(f(x)=\sin(\omega x+\varphi)\)，\(0\lt\omega\lt4\)，与直线 \(y=\frac{\sqrt2}{2}\) 的相邻交点横坐标距离为 \(\frac\pi4\)，且 \(f(x-\frac\pi{12})\) 为奇函数，求 \(\omega,\varphi\)。

解析

• 条件提取：每组给出三个点，目标是判断三点是否共线。
• 建模：取同一起点作两个向量，例如 \(\overrightarrow{AB}\)、\(\overrightarrow{AC}\)。
• 计算：若 \((x_B-x_A)(y_C-y_A)-(y_B-y_A)(x_C-x_A)=0\)，则两个向量共线。
• 结论：三组点的判定式都为 \(0\)，因此每组三点都共线。

近似题

判断点 \(A(0,1),B(2,5),C(3,7)\) 是否共线，并说明理由。

解析

• 条件提取：三角形形状由边长关系和角关系决定，坐标题优先用向量。
• 建模：在可能的直角顶点处取两条边对应的向量。
• 计算：若两边向量数量积为 \(0\)，则这两边垂直，三角形为直角三角形。
• 结论：三组点分别得到 \(B,A,B\) 处数量积为 \(0\)，所以三组都是直角三角形。

近似题

判断 \(A(0,0),B(4,1),C(1,4)\) 构成的三角形形状。

解析

• 条件提取：设所求单位向量为 \(\vec u=(x,y)\)。
• 垂直条件：\((4,2)\cdot(x,y)=0\)，得 \(4x+2y=0\)，即 \(y=-2x\)。
• 单位条件：\(x^2+y^2=1\)，代入得 \(5x^2=1\)。
• 结论：\(\vec u=(\frac1{\sqrt5},-\frac2{\sqrt5})\) 或 \((-\frac1{\sqrt5},\frac2{\sqrt5})\)。

近似题

已知 \(\vec b=(3,4)\)，求与 \(\vec b\) 垂直的单位向量。

解析

• 条件提取：已知四个顶点坐标，目标是证明四边形为矩形。
• 平行四边形：\(\overrightarrow{AB}=(4,-2)\)，\(\overrightarrow{DC}=(4,-2)\)；\(\overrightarrow{BC}=(3,6)\)，\(\overrightarrow{AD}=(3,6)\)。
• 直角：\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=4\cdot3+(-2)\cdot6=0\)。
• 结论：一组邻边垂直的平行四边形是矩形。

近似题

证明以 \(A(0,0),B(4,0),C(4,3),D(0,3)\) 为顶点的四边形是矩形。

解析

• 条件提取：\(\vec e_1,\vec e_2\) 都是单位向量，夹角为 \(60^\circ\)，且 \(\overrightarrow{OP}=3\vec e_1+2\vec e_2\)。
• 长度计算：\(|\overrightarrow{OP}|^2=(3\vec e_1+2\vec e_2)^2=9+12\cos60^\circ+4=19\)。
• 长度结论：\(|\overrightarrow{OP}|=\sqrt{19}\)。注意这里不是直角坐标系，不能直接算成 \(\sqrt{3^2+2^2}\)。
• 合理性：\(\vec e_1,\vec e_2\) 不共线。由平面向量基本定理，平面内任一向量都能唯一表示为 \(x\vec e_1+y\vec e_2\)，因此这种坐标规定合理。

近似题

两单位向量 \(\vec p,\vec q\) 的夹角为 \(60^\circ\)，若 \(\vec m=2\vec p+4\vec q\)，求 \(|\vec m|\)。

解析

• 条件提取：四个实数可以看成两个平面向量的坐标。
• 建模：令 \(\vec u=(a,b)\)，\(\vec v=(c,d)\)，则 \(\vec u\cdot\vec v=ac+bd\)。
• 使用数量积：\(\vec u\cdot\vec v=|\vec u||\vec v|\cos\theta\)，所以 \((\vec u\cdot\vec v)^2=|\vec u|^2|\vec v|^2\cos^2\theta\)。
• 推出结论：因为 \(\cos^2\theta\le1\)，所以 \((ac+bd)^2\le(a^2+b^2)(c^2+d^2)\)。当 \(\vec u,\vec v\) 共线时可取等号。

近似题

用向量方法证明：对任意实数 \(x,y\)，有 \((x+y)^2\le2(x^2+y^2)\)。

解析

• 条件提取：设 \(\overrightarrow{AB}=\vec b\)，\(\overrightarrow{AD}=\vec d\)，则 \(\overrightarrow{AC}=\vec b+\vec d\)。
• 点 \(R\)：由 \(E\) 是 \(AD\) 中点，\(\overrightarrow{AE}=\frac12\vec d\)。设 \(\overrightarrow{AR}=s(\vec b+\vec d)\)，又 \(R\) 在 \(BE\) 上，比较基底系数得 \(s=\frac13\)。
• 点 \(T\)：由 \(F\) 是 \(DC\) 中点，\(\overrightarrow{AF}=\frac12\vec b+\vec d\)。设 \(\overrightarrow{AT}=t(\vec b+\vec d)\)，比较系数得 \(t=\frac23\)。
• 结论：\(AR=\frac13AC\)，\(AT=\frac23AC\)，所以 \(AR=RT=TC\)。

近似题

在平行四边形 \(ABCD\) 中，若 \(E\) 是 \(AD\) 中点，直线 \(BE\) 交 \(AC\) 于 \(R\)，求 \(AR:RC\)。

解析

• 条件提取：三边已知时，面积可由余弦定理和 \(S=\frac12bc\sin A\) 推出。
• 面积：由余弦定理求 \(\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)，再用 \(\sin^2A=1-\cos^2A\)，整理得到海伦公式。
• 内切圆：面积也等于三个小三角形面积之和，即 \(S=\frac12ar+\frac12br+\frac12cr=pr\)，所以 \(r=\frac Sp\)。
• 三边上的高：因为 \(S=\frac12ah_a=\frac12bh_b=\frac12ch_c\)，所以 \(h_a=\frac{2S}{a}\)，\(h_b=\frac{2S}{b}\)，\(h_c=\frac{2S}{c}\)。

近似题

三角形三边为 \(5,6,7\)，求面积和内切圆半径。

解析

• 测量数据：测出水平基线 \(AB=d\)，并分别测出从 \(A,B\) 观测 \(M\) 的俯角 \(\alpha_M,\beta_M\)，从 \(A,B\) 观测 \(N\) 的俯角 \(\alpha_N,\beta_N\)。
• 求视线长度：在 \(\triangle ABM\) 中，由正弦定理得 \(AM=\frac{d\sin\beta_M}{\sin(\alpha_M+\beta_M)}\)。同理得 \(AN=\frac{d\sin\beta_N}{\sin(\alpha_N+\beta_N)}\)。
• 求夹角：在点 \(A\) 处，两条视线 \(AM,AN\) 的夹角为 \(|\alpha_M-\alpha_N|\)。
• 求距离：在 \(\triangle AMN\) 中，用余弦定理求 \(MN\)。

近似题

飞机在 \(A,B\) 两点测山顶 \(P\)，已知 \(AB=10\)，从 \(A,B\) 观察 \(P\) 的俯角分别为 \(30^\circ,45^\circ\)，求 \(AP\)。

解析

• 条件转化：由正弦定理，把 \(a,b,c\) 分别换成同一比例下的 \(\sin A,\sin B,\sin C\)。
• 角度方程：利用 \(B=\pi-A-C\)，整理可得 \(\sqrt3\sin A=1+\cos A\)。
• 求角：\(\sqrt3\cdot2\sin\frac A2\cos\frac A2=2\cos^2\frac A2\)，所以 \(\tan\frac A2=\frac1{\sqrt3}\)，得 \(A=60^\circ\)。
• 求边：若 \(a=2\)，\(S=\frac12bc\sin60^\circ=\sqrt3\)，得 \(bc=4\)。余弦定理给出 \(4=b^2+c^2-bc\)，所以 \(b=c=2\)。

近似题

若 \(\triangle ABC\) 中 \(A=60^\circ\)，\(b=c=3\)，求 \(a\) 与面积。

解析

• 示例问题：测量一座不可直接到达底部的建筑物高度。
• 测量工具：卷尺、测角仪或手机测角工具、记录表。
• 测得数据：在同一直线上选近点 \(C\)、远点 \(D\)，量出 \(CD=s\)，测得近点仰角 \(\alpha\)、远点仰角 \(\beta\)，记录仪器高 \(h\)。
• 计算过程：设近点到建筑物底部水平距离为 \(x\)，由 \(x\tan\alpha=(x+s)\tan\beta\)，得 \(x=\frac{s\tan\beta}{\tan\alpha-\tan\beta}\)，高度 \(H=x\tan\alpha+h\)。

近似题

若 \(s=12\text{ m}\)，\(\alpha=50^\circ\)，\(\beta=35^\circ\)，仪器高 \(h=1.5\text{ m}\)，求建筑物高度。

解析

• 条件提取：设 \(z=a+bi\)，复平面中的对应点为 \(Z(a,b)\)。
• 转化条件：实部为正数表示 \(a\gt0\)，虚部为 \(3\) 表示 \(b=3\)。
• 图形判断：所有满足 \(b=3\) 的点在直线 \(y=3\) 上；再加 \(a\gt0\)，只取实轴右侧的部分。
• 结论：点 \(Z\) 位于直线 \(y=3\) 上且横坐标为正的半射线上，不包含点 \((0,3)\)。

近似题

如果复数 \(w\) 的实部小于 \(0\)，虚部为 \(-2\)，那么 \(w\) 对应的点位于怎样的图形上？

解析

• 点的坐标：\(Z_1(1,2)\)，\(Z_2(\sqrt2,\sqrt3)\)，\(Z_3(\sqrt3,-\sqrt2)\)，\(Z_4(-2,1)\)。
• 计算模：\(|z_1|^2=1^2+2^2=5\)，\(|z_2|^2=(\sqrt2)^2+(\sqrt3)^2=5\)。
• 继续验证：\(|z_3|^2=(\sqrt3)^2+(-\sqrt2)^2=5\)，\(|z_4|^2=(-2)^2+1^2=5\)。
• 结论：四个点到原点的距离都为 \(\sqrt5\)，所以它们都在以原点为圆心、\(\sqrt5\) 为半径的圆上。

近似题

判断复数 \(1+i,\ -1+i,\ -1-i,\ 1-i\) 对应的四个点是否共圆。

解析

• 条件提取：由 \(z_1=z_2\)，实部相等、虚部相等。
• 实部：\(m=2\cos\theta\)，因此 \(\sqrt{4-m^2}=\sqrt{4-4\cos^2\theta}=2|\sin\theta|\)。
• 虚部：\(2|\sin\theta|=\lambda+3\sin\theta\)，所以 \(\lambda=2|\sin\theta|-3\sin\theta\)。
• 分类取值：若 \(\sin\theta\ge0\)，则 \(\lambda=-\sin\theta\in[-1,0]\)；若 \(\sin\theta\lt0\)，则 \(\lambda=-5\sin\theta\in(0,5]\)。
• 结论：\(\lambda\in[-1,5]\)。

近似题

已知 \(w_1=t+\sqrt{9-t^2}i\)，\(w_2=3\cos\theta+(\mu+4\sin\theta)i\)，且 \(w_1=w_2\)，求 \(\mu\) 的取值范围。

解析

• 条件提取：菱形 \(OABC\) 中，\(|OA|=|OC|\)，且 \(\angle AOC=120^\circ\)。点 \(A\) 对应 \(z_A=2+i\)。
• 旋转求 \(C\)：因为图形在上半平面内，取 \(OA\) 逆时针旋转 \(120^\circ\)，所以 \(z_C=(2+i)(\cos120^\circ+i\sin120^\circ)\)。
• 展开：\(z_C=(2+i)(-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i)=-1-\frac{\sqrt3}{2}+(\sqrt3-\frac12)i\)。
• 平行四边形加法：菱形也是平行四边形，\(z_B=z_A+z_C=1-\frac{\sqrt3}{2}+(\sqrt3+\frac12)i\)。

近似题

在复平面内，菱形 \(OABC\) 满足 \(\angle AOC=90^\circ\)，点 \(A\) 对应 \(1+i\)，且图形在上半平面内，求 \(B,C\) 对应的复数。