题目
太空中火箭相对地球以 \(v_0\) 匀速飞行，总质量为 \(M\)。火箭每次以相对喷出前箭身速度 \(v\) 向后喷出质量为 \(m\) 的气体。忽略外力，求第二次喷气后的火箭速度。
学习定位
碰撞与反冲
题族：反冲与质心运动
训练能力：分阶段选择系统、动量与能量联合
前置知识：动量定理、机械能守恒
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参考答案
分步解析
1. 条件提取
标出碰前与碰后状态，规定正方向；短时碰撞先判断外力冲量能否忽略。
2. 系统与方程
按阶段选择研究系统，动量守恒与机械能守恒分别检查，不能因动量守恒就默认动能不变。
3. 计算与判断
第一次喷气由动量守恒得 \(v_1=v_0+\frac{mv}{M-m}\)。第二次喷气前箭身质量为 \(M-m\)，喷气后为 \(M-2m\)，故 \[v_2=v_1+\frac{mv}{M-2m}=v_0+\frac{mv}{M-m}+\frac{mv}{M-2m}.\]
4. 结论
第二次喷气后的速度为 \(v_2=v_0+\dfrac{mv}{M-m}+\dfrac{mv}{M-2m}\)。
初学者探索过程
从“反冲与质心运动”开始探索
先把“例6：火箭连续喷气”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“例6：火箭连续喷气”后，判断为什么“只检查动量守恒，不检查碰后动能是否增加以及两物体是否已经分离”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“分阶段选择系统、动量与能量联合”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：只检查动量守恒，不检查碰后动能是否增加以及两物体是否已经分离。
检查这个想法：先执行：先划分碰撞、相互作用和分离阶段，再为每一阶段选择系统并规定正方向。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[v_2=v_1+\frac{mv}{M-2m}=v_0+\frac{mv}{M-m}+\frac{mv}{M-2m}.\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先划分碰撞、相互作用和分离阶段，再为每一阶段选择系统并规定正方向”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“分阶段选择系统”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“短时作用中的总动量取决于外力冲量；机械能是否守恒和碰撞后的分离条件必须另行判断”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“动量与能量联合”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[v_2=v_1+\frac{mv}{M-2m}=v_0+\frac{mv}{M-m}+\frac{mv}{M-2m}.\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：短时作用中的总动量取决于外力冲量；机械能是否守恒和碰撞后的分离条件必须另行判断。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“分阶段选择系统、动量与能量联合”如何受条件变化控制。
现实同构案例
碰撞试验、反冲推进与缓冲设计：现实中的“反冲与质心运动”
现实场景
车辆碰撞试验、牛顿摆、火箭喷气和枪炮反冲都通过测量碰撞前后速度来追踪动量交换与能量去向。
题目与现实如何对应
题目中的碰撞物体、可动载体和喷出质量对应现实中的试验小车、运载器与推进剂，速度变化对应冲量和反冲效果。 当前题目“例6：火箭连续喷气”训练的“分阶段选择系统、动量与能量联合”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[v_2=v_1+\frac{mv}{M-2m}=v_0+\frac{mv}{M-m}+\frac{mv}{M-2m}.\]
更一般的模型关系是：
\[\vec I_{\mathrm{ext}}=\Delta\vec p,\qquad \sum\vec p_{\mathrm i}=\sum\vec p_{\mathrm f}\]
短时作用中的总动量取决于外力冲量；机械能是否守恒和碰撞后的分离条件必须另行判断，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实碰撞存在形变、转动和声热损耗。
- 喷气与接触力通常随时间变化，不能只看峰值。
带回原题想一想
把“例6：火箭连续喷气”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先划分碰撞、相互作用和分离阶段，再为每一阶段选择系统并规定正方向”建立模型。可先使用：
\[v_2=v_1+\frac{mv}{M-2m}=v_0+\frac{mv}{M-m}+\frac{mv}{M-2m}.\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[v_2=v_1+\frac{mv}{M-2m}=v_0+\frac{mv}{M-m}+\frac{mv}{M-2m}.\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：多级反冲
初始静止的载体质量为 \(M\)，依次向相反方向抛出质量 \(m_1、m_2\) 的物体，给定两次抛出物相对载体的速度。求载体最终速度。
变式答案
逐次以每次抛出前的剩余系统为研究对象写动量守恒。
思路提示
相对速度必须先换成同一参考系中的速度；每次抛出后载体质量都会改变。