题目
从地面以初速度 \(v_0\) 竖直向上抛出质量为 \(m\) 的球，空气阻力与速率成正比。球在 \(t_1\) 时到达最高点，落地速率为 \(v_1\)，且落地前已做匀速运动。求速率—时间图像、最大高度和总飞行时间。
学习定位
动量守恒综合
题族：阻力动量综合
训练能力：分阶段选择系统、动量能量联合
前置知识：动量定理、机械能与牛顿定律
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分步解析
1. 条件提取
标出关键时刻、速度方向、相互作用阶段及题目给出的临界条件。
2. 系统与规律
逐阶段选择研究系统；动量、机械能和质心关系只在各自适用条件下使用。
3. 计算与判断
落地前匀速说明阻力达到 \(kv_1=mg\)。速率—时间图像在上升段由 \(v_0\) 单调下降到 0，斜率绝对值逐渐减小；下降段速率由 0 增大并渐近于 \(v_1\)。上升阶段由动量定理，阻力冲量为 \(k\int_0^{t_1}v\,dt=kH\)，所以 \(mv_0=mgt_1+kH\)。代入 \(k=mg/v_1\) 得 \[H=v_1\left(\frac{v_0}{g}-t_1\right).\] 全程上升、下降路程相等，阻力冲量方向相反且大小相等，彼此抵消；由全程动量定理 \(-mv_1-mv_0=-mgT\)，得到 \[T=\frac{v_0+v_1}{g}.\]
4. 结论
计算结果见上一步。检查方向、量纲、能量范围及碰后分离条件。
初学者探索过程
从“阻力动量综合”开始探索
先把“例4：线性阻力竖直上抛”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“例4：线性阻力竖直上抛”后，判断为什么“跨越碰撞、摩擦或断绳等阶段使用同一套守恒关系”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“分阶段选择系统、动量能量联合”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：跨越碰撞、摩擦或断绳等阶段使用同一套守恒关系。
检查这个想法：先执行：先按时间顺序拆分过程，为每一阶段重新选择系统并检查外力冲量。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[H=\frac{v_0}{b}-\frac{g}{b^2}\ln\!\left(1+\frac{bv_0}{g}\right).\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先按时间顺序拆分过程，为每一阶段重新选择系统并检查外力冲量”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“分阶段选择系统”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“系统边界和过程阶段决定可用规律；动量、能量、质心和约束条件需要分别核验”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“动量能量联合”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[H=\frac{v_0}{b}-\frac{g}{b^2}\ln\!\left(1+\frac{bv_0}{g}\right).\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：系统边界和过程阶段决定可用规律；动量、能量、质心和约束条件需要分别核验。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“分阶段选择系统、动量能量联合”如何受条件变化控制。
现实同构案例
碰撞试验、射流设备和可动机械系统：现实中的“阻力动量综合”
现实场景
碰撞台、风洞、水枪、可动轨道和摆锤装置都需要按阶段追踪冲量、动量交换与能量去向。
题目与现实如何对应
题目中的质点、载体、弹簧和流体分别对应试验物体、移动基座、储能元件和连续介质。 当前题目“例4：线性阻力竖直上抛”训练的“分阶段选择系统、动量能量联合”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[H=\frac{v_0}{b}-\frac{g}{b^2}\ln\!\left(1+\frac{bv_0}{g}\right).\]
更一般的模型关系是：
\[\vec I_{\mathrm{ext}}=\Delta\vec p,\qquad \sum\vec p_{\mathrm i}=\sum\vec p_{\mathrm f}\]
系统边界和过程阶段决定可用规律；动量、能量、质心和约束条件需要分别核验，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实阻力和碰撞力随时间变化。
- 装置的转动、形变和摩擦会引入额外能量通道。
带回原题想一想
把“例4：线性阻力竖直上抛”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先按时间顺序拆分过程，为每一阶段重新选择系统并检查外力冲量”建立模型。可先使用：
\[H=\frac{v_0}{b}-\frac{g}{b^2}\ln\!\left(1+\frac{bv_0}{g}\right).\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[H=\frac{v_0}{b}-\frac{g}{b^2}\ln\!\left(1+\frac{bv_0}{g}\right).\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：线性阻力分段反演
给出上抛物体的最高点时刻和终端速度，反求阻力系数、初速度与落地时间。
变式答案
分别使用 \(m\dot v=-mg-kv\) 与 \(m\dot v=-mg+kv\) 的指数解。
思路提示
上升与下降的阻力方向不同，必须分段建立微分方程。