题目
光滑水平面左侧固定竖直弹性挡板，右侧依次放置 10 个质量均为 \(3m\) 的弹性白球。质量为 \(m\) 的黑球以速度 \(v_0\) 与 1 号球弹性正碰，黑球与挡板也发生弹性碰撞，白球之间均为弹性正碰。判断最终速度和碰撞次数（多选）。
选项
- A. 黑球最终速度大小为 \((1/2)^{10}v_0\)
- B. 黑球最终速度大小为 \((3/4)^{10}v_0\)
- C. 小球之间总共发生 55 次碰撞
- D. 10 号球最终速度为 \(v_0/4\)
学习定位
动量守恒综合
题族：碰撞可行性与传递
训练能力：分阶段选择系统、动量能量联合
前置知识：动量定理、机械能与牛顿定律
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 条件提取
标出关键时刻、速度方向、相互作用阶段及题目给出的临界条件。
2. 系统与规律
逐阶段选择研究系统；动量、机械能和质心关系只在各自适用条件下使用。
3. 计算与判断
每轮中黑球与当前静止的 \(3m\) 白球碰撞后反弹，速率减半，再经挡板反弹继续追赶；白球间等质量碰撞把速度向右传递。第 \(k\) 轮需发生 \(11-k\) 次球间碰撞，因此总数为 \(10+9+\cdots+1=55\)。黑球最终速率为 \((1/2)^{10}v_0\)，10 号球最终速率为 \(v_0/2\)。
4. 结论
答案为 **AC**。检查方向、量纲、能量范围及碰后分离条件。
初学者探索过程
从“碰撞可行性与传递”开始探索
先把“例8：挡板与十球连续碰撞”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“例8：挡板与十球连续碰撞”后，判断为什么“跨越碰撞、摩擦或断绳等阶段使用同一套守恒关系”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“分阶段选择系统、动量能量联合”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：跨越碰撞、摩擦或断绳等阶段使用同一套守恒关系。
检查这个想法：先执行：先按时间顺序拆分过程，为每一阶段重新选择系统并检查外力冲量。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[\vec I_{\rm ext}=\Delta\vec p,\qquad \sum\vec p_{\rm i}=\sum\vec p_{\rm f}\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先按时间顺序拆分过程，为每一阶段重新选择系统并检查外力冲量”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“分阶段选择系统”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“系统边界和过程阶段决定可用规律；动量、能量、质心和约束条件需要分别核验”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“动量能量联合”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[\vec I_{\rm ext}=\Delta\vec p,\qquad \sum\vec p_{\rm i}=\sum\vec p_{\rm f}\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：系统边界和过程阶段决定可用规律；动量、能量、质心和约束条件需要分别核验。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“分阶段选择系统、动量能量联合”如何受条件变化控制。
现实同构案例
碰撞试验、射流设备和可动机械系统：现实中的“碰撞可行性与传递”
现实场景
碰撞台、风洞、水枪、可动轨道和摆锤装置都需要按阶段追踪冲量、动量交换与能量去向。
题目与现实如何对应
题目中的质点、载体、弹簧和流体分别对应试验物体、移动基座、储能元件和连续介质。 当前题目“例8：挡板与十球连续碰撞”训练的“分阶段选择系统、动量能量联合”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[\vec I_{\rm ext}=\Delta\vec p,\qquad \sum\vec p_{\rm i}=\sum\vec p_{\rm f}\]
更一般的模型关系是：
\[\vec I_{\mathrm{ext}}=\Delta\vec p,\qquad \sum\vec p_{\mathrm i}=\sum\vec p_{\mathrm f}\]
系统边界和过程阶段决定可用规律；动量、能量、质心和约束条件需要分别核验，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实阻力和碰撞力随时间变化。
- 装置的转动、形变和摩擦会引入额外能量通道。
带回原题想一想
把“例8：挡板与十球连续碰撞”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先按时间顺序拆分过程，为每一阶段重新选择系统并检查外力冲量”建立模型。可先使用：
\[\vec I_{\rm ext}=\Delta\vec p,\qquad \sum\vec p_{\rm i}=\sum\vec p_{\rm f}\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[\vec I_{\rm ext}=\Delta\vec p,\qquad \sum\vec p_{\rm i}=\sum\vec p_{\rm f}\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：碰撞可行域
给定质量比和碰前速度，求所有满足动量守恒、动能不增加及碰后分离的末速度范围。
变式答案
用动量守恒消去一个末速度，再叠加能量不等式和分离不等式。
思路提示
物理解必须同时满足守恒、耗散和碰撞结束条件。