题目
光滑水平面上三辆小车 A、B、C 共线，\(m_A=m_B=m\)，\(m_C=2m\)，C 固定一水平轻弹簧。A 以速度 \(v\) 向左与 B 碰撞后粘连，再压缩弹簧。判断全过程守恒量、碰后速度、最大弹性势能和弹簧恢复原长时 C 的速度（多选）。
选项
- A. 整个相互作用过程中系统动量和机械能均守恒
- B. A、B 碰撞后的速度为 \(v/2\)
- C. 弹簧最大弹性势能为 \(\frac18mv^2\)
- D. 弹簧再次恢复原长时，C 的速度为 \(v/2\)
学习定位
动量守恒综合
题族：弹簧动量能量
训练能力：分阶段选择系统、动量能量联合
前置知识：动量定理、机械能与牛顿定律
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 条件提取
标出关键时刻、速度方向、相互作用阶段及题目给出的临界条件。
2. 系统与规律
逐阶段选择研究系统；动量、机械能和质心关系只在各自适用条件下使用。
3. 计算与判断
A、B 粘连过程中机械能减少，所以 A 错；动量守恒给出粘连后 AB 速度为 \(v/2\)，B 对。随后 AB 与 C 的质量均为 \(2m\)，弹簧压缩最大时二者共速 \(v/4\)，由能量差得最大弹性势能 \[E_{p\max}=\frac12(2m)\left(\frac v2\right)^2-\frac12(4m)\left(\frac v4\right)^2=\frac18mv^2,\] C 对。弹簧恢复原长时，等质量的 AB 与 C 完成速度交换，C 的速度为 \(v/2\)，D 对。
4. 结论
答案为 **BCD**。检查方向、量纲、能量范围及碰后分离条件。
初学者探索过程
从“弹簧动量能量”开始探索
先把“例11：粘连小车压缩弹簧”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“例11：粘连小车压缩弹簧”后，判断为什么“跨越碰撞、摩擦或断绳等阶段使用同一套守恒关系”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“分阶段选择系统、动量能量联合”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：跨越碰撞、摩擦或断绳等阶段使用同一套守恒关系。
检查这个想法：先执行：先按时间顺序拆分过程，为每一阶段重新选择系统并检查外力冲量。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[\vec I_{\rm ext}=\Delta\vec p,\qquad \sum\vec p_{\rm i}=\sum\vec p_{\rm f}\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先按时间顺序拆分过程，为每一阶段重新选择系统并检查外力冲量”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“分阶段选择系统”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“系统边界和过程阶段决定可用规律；动量、能量、质心和约束条件需要分别核验”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“动量能量联合”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[\vec I_{\rm ext}=\Delta\vec p,\qquad \sum\vec p_{\rm i}=\sum\vec p_{\rm f}\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：系统边界和过程阶段决定可用规律；动量、能量、质心和约束条件需要分别核验。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“分阶段选择系统、动量能量联合”如何受条件变化控制。
现实同构案例
碰撞试验、射流设备和可动机械系统：现实中的“弹簧动量能量”
现实场景
碰撞台、风洞、水枪、可动轨道和摆锤装置都需要按阶段追踪冲量、动量交换与能量去向。
题目与现实如何对应
题目中的质点、载体、弹簧和流体分别对应试验物体、移动基座、储能元件和连续介质。 当前题目“例11：粘连小车压缩弹簧”训练的“分阶段选择系统、动量能量联合”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[\vec I_{\rm ext}=\Delta\vec p,\qquad \sum\vec p_{\rm i}=\sum\vec p_{\rm f}\]
更一般的模型关系是：
\[\vec I_{\mathrm{ext}}=\Delta\vec p,\qquad \sum\vec p_{\mathrm i}=\sum\vec p_{\mathrm f}\]
系统边界和过程阶段决定可用规律；动量、能量、质心和约束条件需要分别核验，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实阻力和碰撞力随时间变化。
- 装置的转动、形变和摩擦会引入额外能量通道。
带回原题想一想
把“例11：粘连小车压缩弹簧”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先按时间顺序拆分过程，为每一阶段重新选择系统并检查外力冲量”建立模型。可先使用：
\[\vec I_{\rm ext}=\Delta\vec p,\qquad \sum\vec p_{\rm i}=\sum\vec p_{\rm f}\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[\vec I_{\rm ext}=\Delta\vec p,\qquad \sum\vec p_{\rm i}=\sum\vec p_{\rm f}\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：粘连后弹簧交换
物体先发生完全非弹性碰撞，再与另一物体通过弹簧作用。求最大弹性势能和再次原长时速度。
变式答案
碰撞阶段只用动量；弹簧阶段再用动量与机械能。
思路提示
两阶段的系统相同但守恒量不同。