题目
（多选）卫星 \(P\)、\(Q\) 绕某行星运动的轨道均为椭圆，只考虑它们受到该行星的引力。引力大小随时间的图像显示：\(P\) 的周期为 \(t_1\)，引力最大、最小值分别为 \(8F\)、\(2F\)；\(Q\) 的周期为 \(2t_2\)，引力最大、最小值分别为 \(9F\)、\(F\)。已知 \(t_2=\sqrt2t_1\)。下列说法正确的是（ ）
选项
- A. \(P\)、\(Q\) 绕行星公转的周期之比为 \(1:2\sqrt2\)
- B. \(P\)、\(Q\) 到行星中心距离的最小值之比为 \(3:2\)
- C. \(P\)、\(Q\) 的质量之比为 \(32:81\)
- D. \(Q\) 的轨道长轴与短轴之比为 \(2:\sqrt3\)
学习定位
万有引力与天体参数
题族：开普勒定律与椭圆轨道
训练能力：轨道位置比较、面积速度推理
前置知识：开普勒定律、万有引力
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 周期与半长轴
由图得 \(T_P=t_1\)、\(T_Q=2t_2=2\sqrt2t_1\)，A 正确。由 \(T^2\propto a^3\)，得半长轴 \(a_P:a_Q=1:2\)。
2. 近远点距离
对同一卫星有 \(F_{近}/F_{远}=(r_{远}/r_{近})^2\)。故 \(P\) 的 \(r_a/r_p=2\)，\(Q\) 的 \(r_a/r_p=3\)。由 \(a=(r_p+r_a)/2\)，得 \(r_{pP}=2a_P/3\)、\(r_{pQ}=a_Q/2\)，所以 \(r_{pP}:r_{pQ}=2:3\)，B 错。
3. 质量与轴比
用近点最大引力 \(8F=GMm_P/r_{pP}^2\)、\(9F=GMm_Q/r_{pQ}^2\)，得 \(m_P:m_Q=32:81\)，C 对。对 \(Q\)，偏心率 \(e=(3-1)/(3+1)=1/2\)，故长轴与短轴之比 \(a:b=1/\sqrt{1-e^2}=2:\sqrt3\)，D 对。
初学者探索过程
从“开普勒定律与椭圆轨道”开始探索
先把“B10：椭圆轨道引力图像”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“B10：椭圆轨道引力图像”后，判断为什么“把距地面高度直接代入万有引力公式中的球心距”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“轨道位置比较、面积速度推理”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把距地面高度直接代入万有引力公式中的球心距。
检查这个想法：先执行：先确定中心天体、距离是球心距还是高度，再写万有引力关系。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[r_a/r_p=2\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先确定中心天体、距离是球心距还是高度，再写万有引力关系”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“轨道位置比较”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“球对称天体外部的引力由中心距离和中心天体质量决定”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“面积速度推理”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[r_a/r_p=2\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：球对称天体外部的引力由中心距离和中心天体质量决定。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“轨道位置比较、面积速度推理”如何受条件变化控制。
现实同构案例
卫星测轨与行星参数反演：现实中的“开普勒定律与椭圆轨道”
现实场景
航天测控通过卫星轨道周期、距离和速度反推出中心天体的引力参数，并用于轨道预报。
题目与现实如何对应
题目中的中心天体和卫星对应真实行星与航天器，轨道半径和周期对应测轨数据。 当前题目“B10：椭圆轨道引力图像”训练的“轨道位置比较、面积速度推理”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[r_a/r_p=2\]
更一般的模型关系是：
\[F=G\frac{Mm}{r^2}\]
球对称天体外部的引力由中心距离和中心天体质量决定，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实天体并非完全球对称。
- 多天体摄动会使轨道缓慢偏离理想二体模型。
带回原题想一想
把“B10：椭圆轨道引力图像”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先确定中心天体、距离是球心距还是高度，再写万有引力关系”建立模型。可先使用：
\[r_a/r_p=2\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[r_a/r_p=2\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：引力极值求轨道偏心率
**基础设问**
同一卫星在椭圆轨道上所受最大引力与最小引力之比为 \(16:1\)，求轨道偏心率。
**综合提升**
某天体沿椭圆轨道运动，近日点、远日点距离分别为 \(r_p,r_a\)。（1）推导两点速度比；（2）用 \(r_p,r_a\) 写出半长轴和周期；（3）由万有引力比较两点加速度；（4）若保持半长轴不变而增大偏心率，讨论速度比和周期怎样变化。
变式答案
**1. 基础设问**
\(r_a/r_p=4\)，故 \(e=(r_a-r_p)/(r_a+r_p)=3/5\)。
**2. 综合提升**
近远点速度均与半径垂直，由角动量守恒
\[\frac{v_p}{v_a}=\frac{r_a}{r_p}.\]
半长轴 \(a=(r_p+r_a)/2\)，周期 \(T=2\pi\sqrt{a^3/(GM)}\)。加速度比 \(g_p/g_a=(r_a/r_p)^2\)。保持 \(a\) 不变时周期不变；偏心率增大使 \(r_a/r_p\) 增大，因此速度比增大。
思路提示
**基础思路**
先由引力平方反比求远近点距离比，再用 \(e=(r_a-r_p)/(r_a+r_p)\)。
**进阶思路**
把局部比较与整轨道性质分开：角动量管近远点速度，半长轴管周期。
真题拓展
同步卫星高度、行星密度与自转周期
高考真题 · 高度同构
2010年全国卷Ⅱ · 物理部分第8题
该真题与当前题同属“万有引力与天体参数”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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