题目
（多选）航天员在月球表面将小球以速度 \(v_0\) 竖直向上抛出，小球上升的最大高度为 \(h\)。已知月球半径为 \(R\)，引力常量为 \(G\)。下列说法正确的是（ ）
选项
- A. 月球表面的重力加速度大小为 \(v_0^2/h\)
- B. 月球表面上，长为 \(L\) 的细线牵引小球在竖直面内做圆周运动，小球到达最高点的速度至少为 \(v_0\sqrt{L/(2h)}\)
- C. 月球的质量为 \(v_0^2R^2/(2Gh)\)
- D. 月球的密度为 \(3v_0^2/(8\pi GRh)\)
学习定位
万有引力与天体参数
题族：星球表面重力与竖直运动
训练能力：天体参数换算、局部重力运动建模
前置知识：万有引力、竖直运动
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 由上抛求重力
由 \(v_0^2=2gh\)，得 \(g=v_0^2/(2h)\)，故 A 错。
2. 圆周运动与天体质量
绳球恰过最高点时 \(v_{\min}=\sqrt{gL}=v_0\sqrt{L/(2h)}\)；又由 \(g=GM/R^2\)，得 \(M=v_0^2R^2/(2Gh)\)。B、C 正确。
3. 密度结论
\(\rho=M/(4\pi R^3/3)=3v_0^2/(8\pi GRh)\)，D 正确。故选 B、C、D。
初学者探索过程
从“星球表面重力与竖直运动”开始探索
先把“例8：月面竖直上抛”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“例8：月面竖直上抛”后，判断为什么“把距地面高度直接代入万有引力公式中的球心距”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“天体参数换算、局部重力运动建模”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把距地面高度直接代入万有引力公式中的球心距。
检查这个想法：先执行：先确定中心天体、距离是球心距还是高度，再写万有引力关系。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[M=v_0^2R^2/(2Gh)\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先确定中心天体、距离是球心距还是高度，再写万有引力关系”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“天体参数换算”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“球对称天体外部的引力由中心距离和中心天体质量决定”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“局部重力运动建模”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[M=v_0^2R^2/(2Gh)\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：球对称天体外部的引力由中心距离和中心天体质量决定。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“天体参数换算、局部重力运动建模”如何受条件变化控制。
现实同构案例
卫星测轨与行星参数反演：现实中的“星球表面重力与竖直运动”
现实场景
航天测控通过卫星轨道周期、距离和速度反推出中心天体的引力参数，并用于轨道预报。
题目与现实如何对应
题目中的中心天体和卫星对应真实行星与航天器，轨道半径和周期对应测轨数据。 当前题目“例8：月面竖直上抛”训练的“天体参数换算、局部重力运动建模”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[M=v_0^2R^2/(2Gh)\]
更一般的模型关系是：
\[F=G\frac{Mm}{r^2}\]
球对称天体外部的引力由中心距离和中心天体质量决定，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实天体并非完全球对称。
- 多天体摄动会使轨道缓慢偏离理想二体模型。
带回原题想一想
把“例8：月面竖直上抛”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先确定中心天体、距离是球心距还是高度，再写万有引力关系”建立模型。可先使用：
\[M=v_0^2R^2/(2Gh)\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[M=v_0^2R^2/(2Gh)\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：上抛实验测星球密度
**基础设问**
在半径为 \(R\) 的星球表面，以初速度 \(u\) 竖直上抛小球，最大高度为 \(H\)。求星球平均密度。
**综合提升**
设天体为密度均匀、半径 \(R\) 的球体。（1）推导内部距球心 \(r\) 处的重力加速度；（2）证明贯穿球心的真空隧道内运动为简谐运动；（3）求振动周期并用平均密度表示；（4）比较该周期与贴近表面的圆轨道周期。
变式答案
**1. 基础设问**
\(\rho=\dfrac{3u^2}{8\pi GRH}\)。
**2. 综合提升**
球内有效质量 \(M(r)=4\pi\rho r^3/3\)，故
\[g(r)=\frac{GM(r)}{r^2}=\frac{4\pi G\rho}{3}r.\]
沿隧道有 \(a=-\omega^2r\)，其中 \(\omega^2=4\pi G\rho/3\)，所以
\[T=2\pi\sqrt{\frac{3}{4\pi G\rho}}.\]
贴地圆轨道满足同一 \(GM/R^3=4\pi G\rho/3\)，周期相同。
思路提示
**基础思路**
先由上抛运动求 \(g=u^2/(2H)\)，再联立 \(g=GM/R^2\) 与 \(M=4\pi R^3\rho/3\)。
**进阶思路**
关键升级是把表面重力推广到球内有效质量，再识别加速度与位移成正比的简谐结构。
真题拓展
同步卫星高度、行星密度与自转周期
高考真题 · 高度同构
2010年全国卷Ⅱ · 物理部分第8题
该真题与当前题同属“万有引力与天体参数”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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