题目
（多选）长为 \(L\) 的轻绳上装有力传感器，一端连接质点小球。小球上有宽为 \(d\) 的遮光条，在竖直平面内做圆周运动。小球通过最高点时，光电门测出遮光时间 \(t\)，力传感器测出绳上拉力 \(F\)。在地球赤道和南极测得的 \(F-t^{-2}\) 图像为两条斜率均为 \(k\) 的直线，横轴截距分别为 \(a\)、\(b\)，且 \(b>a\)。已知引力常量为 \(G\)，地球半径为 \(R\)。则（ ）
选项
- A. 小球的质量为 \(kL/d^2\)
- B. 地球南极处的重力加速度为 \(ad^2/L\)
- C. 地球的质量为 \(bd^2R^2/(GL)\)
- D. 小球在圆周最高点时向心加速度的大小总等于当地重力加速度
学习定位
万有引力与天体参数
题族：星球表面重力与竖直运动
训练能力：天体参数换算、局部重力运动建模
前置知识：万有引力、竖直运动
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 建立图像方程
最高点速度 \(v=d/t\)，沿圆心方向有 \(F+mg=mv^2/L\)，即 \(F=(md^2/L)t^{-2}-mg\)。
2. 斜率与截距
斜率 \(k=md^2/L\)，故 \(m=kL/d^2\)。横轴截距为 \(gL/d^2\)；南极重力较大，对应较大的截距 \(b\)，所以 \(g_{南}=bd^2/L\)。
3. 结论
由 \(g_{南}=GM/R^2\)，得 \(M=bd^2R^2/(GL)\)。最高点通常有 \(a_c=g+F/m\)，不总等于 \(g\)。故选 A、C。
初学者探索过程
从“星球表面重力与竖直运动”开始探索
先把“B7：光电门拉力图像”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“B7：光电门拉力图像”后，判断为什么“把距地面高度直接代入万有引力公式中的球心距”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“天体参数换算、局部重力运动建模”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把距地面高度直接代入万有引力公式中的球心距。
检查这个想法：先执行：先确定中心天体、距离是球心距还是高度，再写万有引力关系。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[m=kL/d^2\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先确定中心天体、距离是球心距还是高度，再写万有引力关系”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“天体参数换算”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“球对称天体外部的引力由中心距离和中心天体质量决定”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“局部重力运动建模”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[m=kL/d^2\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：球对称天体外部的引力由中心距离和中心天体质量决定。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“天体参数换算、局部重力运动建模”如何受条件变化控制。
现实同构案例
卫星测轨与行星参数反演：现实中的“星球表面重力与竖直运动”
现实场景
航天测控通过卫星轨道周期、距离和速度反推出中心天体的引力参数，并用于轨道预报。
题目与现实如何对应
题目中的中心天体和卫星对应真实行星与航天器，轨道半径和周期对应测轨数据。 当前题目“B7：光电门拉力图像”训练的“天体参数换算、局部重力运动建模”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[m=kL/d^2\]
更一般的模型关系是：
\[F=G\frac{Mm}{r^2}\]
球对称天体外部的引力由中心距离和中心天体质量决定，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实天体并非完全球对称。
- 多天体摄动会使轨道缓慢偏离理想二体模型。
带回原题想一想
把“B7：光电门拉力图像”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先确定中心天体、距离是球心距还是高度，再写万有引力关系”建立模型。可先使用：
\[m=kL/d^2\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[m=kL/d^2\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：拉力图像求质量
**基础设问**
某最高点实验得到 \(F-x\) 直线，其中 \(x=t^{-2}\)，斜率为 \(K\)。遮光条宽度为 \(d\)，绳长为 \(L\)。求小球质量。
**综合提升**
把原圆轨道半径由 \(r\) 改为 \(\lambda r\)，中心天体不变。（1）推导重力加速度、线速度、角速度、周期和单位质量机械能的变化比；（2）由任意两项观测量反求 \(GM\)；（3）讨论 \(\lambda>1\) 时“速度变小但周期变大”的原因；（4）指出这些比例对椭圆轨道瞬时点为何不能直接使用。
变式答案
**1. 基础设问**
\(m=KL/d^2\)。
**2. 综合提升**
圆轨道有
\[g\propto r^{-2},\quad v\propto r^{-1/2},\quad \omega\propto r^{-3/2},\quad T\propto r^{3/2},\quad \varepsilon=-\frac{GM}{2r}.\]
所以半径乘 \(\lambda\) 后比例依次为 \(\lambda^{-2},\lambda^{-1/2},\lambda^{-3/2},\lambda^{3/2},\lambda^{-1}\)。可由 \(GM=v^2r=4\pi^2r^3/T^2\) 反求。椭圆轨道瞬时速度还取决于半长轴，不能只看当前 \(r\)。
思路提示
**基础思路**
先写 \(F=(md^2/L)x-mg\)，再读取直线斜率。
**进阶思路**
所有比例都从同一个圆轨道主方程推出，再用适用条件区分圆轨道与椭圆轨道。
真题拓展
同步卫星高度、行星密度与自转周期
高考真题 · 高度同构
2010年全国卷Ⅱ · 物理部分第8题
该真题与当前题同属“万有引力与天体参数”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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