题目
（多选）天文台每隔 \(2\,\mathrm{h}\) 拍摄太阳系内某行星及其一颗卫星，照片上测得行星球心与卫星的有向距离 \(L\) 随时间变化如下：时刻 \(0,2,4,6,8,10,12,14,24\,\mathrm{h}\) 对应 \(L=2.59,5,7.07,8.66,9.66,10,9.66,8.66,-2.59\,\mathrm{cm}\)。已知卫星做匀速圆周运动，照片上行星直径为 \(2\,\mathrm{cm}\)，\(10\,\mathrm{h}\) 时 \(L\) 最大，\(G=6.67\times10^{-11}\,\mathrm{N\cdot m^2/kg^2}\)。则（ ）
选项
- A. 该卫星绕行星运动的周期为 \(24\,\mathrm{h}\)
- B. 该行星的近地卫星环绕周期 \(T_0=\dfrac{12}{25}\sqrt{10}\,\mathrm{h}\)
- C. 该行星的平均密度约为 \(5\times10^3\,\mathrm{kg/m^3}\)
- D. 该行星到太阳的距离一定大于地球到太阳的距离
学习定位
万有引力与天体参数
题族：观测数据反演天体参数
训练能力：多源数据提取、天体质量密度推导
前置知识：开普勒第三定律、圆周运动
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 读取周期
表中数据对应 \(L=10\sin(7.5^\circ t+15^\circ)\,\mathrm{cm}\)，角速度为 \(7.5^\circ/\mathrm{h}\)，故卫星周期为 \(48\,\mathrm{h}\)，A 错。
2. 近地周期
照片上卫星轨道半径为 \(10\,\mathrm{cm}\)，行星半径为 \(1\,\mathrm{cm}\)，故 \(r=10R\)。由 \(T_0/T=(R/r)^{3/2}\)，得 \(T_0=48/(10\sqrt{10})=12\sqrt{10}/25\,\mathrm{h}\)，B 对。
3. 密度与结论
近地周期满足 \(\rho=3\pi/(GT_0^2)\)，代入并换算为秒得 \(\rho\approx4.7\times10^3\,\mathrm{kg/m^3}\)，约为 \(5\times10^3\,\mathrm{kg/m^3}\)。照片不能确定行星到太阳的距离，故选 B、C。
初学者探索过程
从“观测数据反演天体参数”开始探索
先把“B9：照片测行星密度”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“B9：照片测行星密度”后，判断为什么“把距地面高度直接代入万有引力公式中的球心距”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“多源数据提取、天体质量密度推导”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把距地面高度直接代入万有引力公式中的球心距。
检查这个想法：先执行：先确定中心天体、距离是球心距还是高度，再写万有引力关系。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[\rho=3\pi/(GT_0^2)\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先确定中心天体、距离是球心距还是高度，再写万有引力关系”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“多源数据提取”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“球对称天体外部的引力由中心距离和中心天体质量决定”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“天体质量密度推导”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[\rho=3\pi/(GT_0^2)\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：球对称天体外部的引力由中心距离和中心天体质量决定。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“多源数据提取、天体质量密度推导”如何受条件变化控制。
现实同构案例
卫星测轨与行星参数反演：现实中的“观测数据反演天体参数”
现实场景
航天测控通过卫星轨道周期、距离和速度反推出中心天体的引力参数，并用于轨道预报。
题目与现实如何对应
题目中的中心天体和卫星对应真实行星与航天器，轨道半径和周期对应测轨数据。 当前题目“B9：照片测行星密度”训练的“多源数据提取、天体质量密度推导”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[\rho=3\pi/(GT_0^2)\]
更一般的模型关系是：
\[F=G\frac{Mm}{r^2}\]
球对称天体外部的引力由中心距离和中心天体质量决定，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实天体并非完全球对称。
- 多天体摄动会使轨道缓慢偏离理想二体模型。
带回原题想一想
把“B9：照片测行星密度”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先确定中心天体、距离是球心距还是高度，再写万有引力关系”建立模型。可先使用：
\[\rho=3\pi/(GT_0^2)\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[\rho=3\pi/(GT_0^2)\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：由近地周期求密度
**基础设问**
某均匀球形天体的近地卫星周期为 \(T_0\)，求天体平均密度。
**综合提升**
设天体为密度均匀、半径 \(R\) 的球体。（1）推导内部距球心 \(r\) 处的重力加速度；（2）证明贯穿球心的真空隧道内运动为简谐运动；（3）求振动周期并用平均密度表示；（4）比较该周期与贴近表面的圆轨道周期。
变式答案
**1. 基础设问**
\(\rho=\dfrac{3\pi}{GT_0^2}\)。
**2. 综合提升**
球内有效质量 \(M(r)=4\pi\rho r^3/3\)，故
\[g(r)=\frac{GM(r)}{r^2}=\frac{4\pi G\rho}{3}r.\]
沿隧道有 \(a=-\omega^2r\)，其中 \(\omega^2=4\pi G\rho/3\)，所以
\[T=2\pi\sqrt{\frac{3}{4\pi G\rho}}.\]
贴地圆轨道满足同一 \(GM/R^3=4\pi G\rho/3\)，周期相同。
思路提示
**基础思路**
联立 \(GMm/R^2=m4\pi^2R/T_0^2\) 与 \(M=4\pi R^3\rho/3\)。
**进阶思路**
关键升级是把表面重力推广到球内有效质量，再识别加速度与位移成正比的简谐结构。
真题拓展
同步卫星高度、行星密度与自转周期
高考真题 · 高度同构
2010年全国卷Ⅱ · 物理部分第8题
该真题与当前题同属“万有引力与天体参数”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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