题目
求距地表 \(h\) 高度处的重力加速度；再求地球上深度为 \(h\) 的矿井里的重力加速度。已知地球表面重力加速度为 \(g\)，并把地球视为质量分布均匀、半径为 \(R\) 的球体。
学习定位
万有引力与天体参数
题族：球壳与均匀球体引力场
训练能力：等效叠加、分区引力判断
前置知识：万有引力定律、球壳定理
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参考答案
分步解析
1. 地表上方
由 \(g=GM/R^2\)，高度 \(h\) 处到地心距离为 \(R+h\)，故 \(g_{高}=GM/(R+h)^2=gR^2/(R+h)^2\)。
2. 地表下方
矿井处到地心距离为 \(r=R-h\)。均匀球体内部 \(g(r)=g\,r/R\)。
3. 结论
因此 \(g_{深}=g(R-h)/R\)。地表外按距离平方反比减小，地球内部按距地心距离线性减小。
初学者探索过程
从“球壳与均匀球体引力场”开始探索
先把“拓展例题：地表上下重力”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“拓展例题：地表上下重力”后，判断为什么“把距地面高度直接代入万有引力公式中的球心距”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“等效叠加、分区引力判断”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把距地面高度直接代入万有引力公式中的球心距。
检查这个想法：先执行：先确定中心天体、距离是球心距还是高度，再写万有引力关系。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[F=G\frac{Mm}{r^2}\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先确定中心天体、距离是球心距还是高度，再写万有引力关系”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“等效叠加”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“球对称天体外部的引力由中心距离和中心天体质量决定”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“分区引力判断”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[F=G\frac{Mm}{r^2}\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：球对称天体外部的引力由中心距离和中心天体质量决定。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“等效叠加、分区引力判断”如何受条件变化控制。
现实同构案例
卫星测轨与行星参数反演：现实中的“球壳与均匀球体引力场”
现实场景
航天测控通过卫星轨道周期、距离和速度反推出中心天体的引力参数，并用于轨道预报。
题目与现实如何对应
题目中的中心天体和卫星对应真实行星与航天器，轨道半径和周期对应测轨数据。 当前题目“拓展例题：地表上下重力”训练的“等效叠加、分区引力判断”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[F=G\frac{Mm}{r^2}\]
更一般的模型关系是：
\[F=G\frac{Mm}{r^2}\]
球对称天体外部的引力由中心距离和中心天体质量决定，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实天体并非完全球对称。
- 多天体摄动会使轨道缓慢偏离理想二体模型。
带回原题想一想
把“拓展例题：地表上下重力”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先确定中心天体、距离是球心距还是高度，再写万有引力关系”建立模型。可先使用：
\[F=G\frac{Mm}{r^2}\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[F=G\frac{Mm}{r^2}\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：等高与等深比较
**基础设问**
取 \(h=R/2\)，分别求距地表 \(R/2\) 高处和地下 \(R/2\) 深处的重力加速度。
**综合提升**
在密度为 \(\rho\) 的均匀实心球内挖去一个半径为 \(b\) 的球形空腔，空腔球心相对原球心的位移矢量为 \(\vec a\)，且空腔完全位于大球内部。（1）用叠加法求空腔内任意点的引力场；（2）说明场是否随点的位置变化；（3）求小质点在腔内所受引力；（4）比较同心空腔与偏心空腔。
变式答案
**1. 基础设问**
高处 \(g_{高}=4g/9\)，深处 \(g_{深}=g/2\)。
**2. 综合提升**
把挖腔等效为“完整均匀球 + 密度为 \(-\rho\) 的小球”。均匀球内部 \(\vec g=-(4\pi G\rho/3)\vec r\)，叠加后空腔内
\[\vec g_{腔}=-\frac{4\pi G\rho}{3}\vec a,\]
与腔内位置无关，是匀强引力场。质量为 \(m\) 的质点受力 \(m\vec g_{腔}\)。同心空腔 \(\vec a=0\) 时场为零；偏心时场非零且均匀。
思路提示
**基础思路**
高处使用平方反比公式，深处使用均匀球体内部的线性公式。
**进阶思路**
把几何缺失转化为负密度球叠加，利用两个线性场相减，位置矢量项自动消去。
真题拓展
同步卫星高度、行星密度与自转周期
高考真题 · 高度同构
2010年全国卷Ⅱ · 物理部分第8题
该真题与当前题同属“万有引力与天体参数”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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