万有引力与宇宙航行

章节题目概括

1. 例1：近日点速度

   某行星沿椭圆轨道运行，远日点 \(A\) 离太阳距离为 \(a\)，近日点 \(B\) 离太阳距离为 \(b\)。过远日点时行星的速率为 \(v_a\)，则过近日点时行星的速率为（ ）

2. 例2：椭圆变轨返回

   神舟六号沿半径为 \(r\) 的圆周绕地球运动，周期为 \(T\)。飞船在轨道上的 \(A\) 点降低速率后，沿以地心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆与地球表面在 \(B\) 点相切。若地球半径为 \(R\)，求飞船从 \(A\) 点到 \(B\) 点所需的时间。

3. 例3：球体挖腔引力

   在距一个质量为 \(M\)、半径为 \(R\)、密度均匀的球体表面 \(R\) 处，有一个质量为 \(m\) 的质点，球体对质点的万有引力为 \(F_1\)。从球体右侧挖去一个与外球内切、半径为 \(R/2\) 的球体后，剩余部分对质点的万有引力为 \(F_2\)。求 \(F_1:F_2\)。

4. 例4：空心球壳引力

   两个均质球壳的质量均为 \(M\)，外径为 \(R_1\)，内径为 \(R_2\)，两球壳中心距离为 \(L\)。求两球壳之间的万有引力。

5. 例5：自转与地球密度

   假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为 \(g_0\)，在赤道的大小为 \(g\)，地球自转周期为 \(T\)，引力常量为 \(G\)，则地球的密度为（ ）

6. 例6：轨道数据估算

   （多选）已知引力常量 \(G\)、月球中心到地球中心的距离 \(r\) 和月球绕地球运行的周期 \(T\)。仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有（ ）

7. 例7：星球自转解体

   已知某星球不自转时，其表面重力加速度为 \(g\)，半径为 \(R\)。问该星球自转的角速度 \(\omega\) 增大为多少时，星球开始解体？

8. 例8：月面竖直上抛

   （多选）航天员在月球表面将小球以速度 \(v_0\) 竖直向上抛出，小球上升的最大高度为 \(h\)。已知月球半径为 \(R\)，引力常量为 \(G\)。下列说法正确的是（ ）

9. 例9：穿地隧道加速度

   如图所示，有人设想从中国建立一条通过地心的光滑隧道直达巴西。若只考虑物体间的万有引力，从隧道口抛下一物体，物体加速度的大小（ ）

10. 拓展例题：地表上下重力

    求距地表 \(h\) 高度处的重力加速度；再求地球上深度为 \(h\) 的矿井里的重力加速度。已知地球表面重力加速度为 \(g\)，并把地球视为质量分布均匀、半径为 \(R\) 的球体。

11. A1：土星双卫星位置

    （多选）土卫一 \(M\) 和土卫二 \(E\) 是土星 \(S\) 的两个卫星，土卫二的公转半径约为土卫一的 \(2\) 倍。某时刻两卫星均位于土星右侧同一直线上，且公转方向均为逆时针。在土卫一公转一周的时间内，两卫星的位置关系大致为（ ）

12. A2：节气与公转快慢

    （多选）二十四节气按地球和太阳的连线每扫过 \(15^\circ\) 划分。北半球冬至时地球在近日点附近。根据节气在地球公转轨道上的位置，下列说法正确的是（ ）

13. A3：哈雷彗星近日远日

    （多选）哈雷彗星的公转轨道可看作较扁的椭圆。在近日点到太阳中心的距离为 \(r_1\)，线速度大小为 \(v_1\)，加速度大小为 \(a_1\)；在远日点相应物理量为 \(r_2\)、\(v_2\)、\(a_2\)。则（ ）

14. A4：不同位置测重

    （多选）用弹簧测力计称量一个相对地球静止、质量为 \(m\) 的小物体。已知地球质量为 \(M\)，引力常量为 \(G\)，将地球视为半径为 \(R\)、质量分布均匀的球体。下列说法正确的是（ ）

15. A5：未知天体竖直上抛

    （多选）航天员登上某半径为 \(R\) 的球形未知天体，在其表面将质量为 \(m\) 的小球以初速度 \(v_0\) 竖直上抛，上升的最大高度为 \(h\)，引力常量为 \(G\)。则（ ）

16. B6：弧长角度测天体

    （多选）人造航天器在月球表面上空绕月球做匀速圆周运动。经过时间 \(t\)（\(t\) 小于航天器的绕行周期），航天器运动的弧长为 \(s\)，航天器与月球的中心连线扫过的角度为 \(\theta\)，引力常量为 \(G\)。则（ ）

17. B7：光电门拉力图像

    （多选）长为 \(L\) 的轻绳上装有力传感器，一端连接质点小球。小球上有宽为 \(d\) 的遮光条，在竖直平面内做圆周运动。小球通过最高点时，光电门测出遮光时间 \(t\)，力传感器测出绳上拉力 \(F\)。在地球赤道和南极测得的 \(F-t^{-2}\) 图像为两条斜率均为 \(k\) 的直线，横轴截距…

18. B8：日全食尺度估算

    （多选）2024 年 4 月 9 日在北美洲南部能观察到日全食，此时月球和太阳的视角相等。已知地球绕太阳的周期约为月球绕地球周期的 \(13\) 倍，太阳半径约为地球半径的 \(100\) 倍，地球半径约为月球半径的 \(4\) 倍，两个轨道均可视为圆周运动。根据以上数据可知（ ）

19. B9：照片测行星密度

    （多选）天文台每隔 \(2\,\mathrm{h}\) 拍摄太阳系内某行星及其一颗卫星，照片上测得行星球心与卫星的有向距离 \(L\) 随时间变化如下：时刻 \(0,2,4,6,8,10,12,14,24\,\mathrm{h}\) 对应 \(L=2.59,5,7.07,8.66,9.66,10,9.66…

20. B10：椭圆轨道引力图像

    （多选）卫星 \(P\)、\(Q\) 绕某行星运动的轨道均为椭圆，只考虑它们受到该行星的引力。引力大小随时间的图像显示：\(P\) 的周期为 \(t_1\)，引力最大、最小值分别为 \(8F\)、\(2F\)；\(Q\) 的周期为 \(2t_2\)，引力最大、最小值分别为 \(9F\)、\(F\)。已知 \…

章节定理、规律与公式汇总

核心定理与规律

1. 万有引力适用于任意两个有质量的物体；球对称天体外部可把质量等效集中在球心。
2. 圆轨道卫星由万有引力提供向心力，轨道半径越大，线速度和角速度越小，周期越大。
3. 椭圆轨道上靠近中心天体时速度较大，远离时速度较小，机械能由轨道半长轴决定。

常用公式

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