题目
如图所示，有人设想从中国建立一条通过地心的光滑隧道直达巴西。若只考虑物体间的万有引力，从隧道口抛下一物体，物体加速度的大小（ ）
选项
- A. 一直增大
- B. 一直减小
- C. 先增大后减小
- D. 先减小后增大
学习定位
万有引力与天体参数
题族：球壳与均匀球体引力场
训练能力：等效叠加、分区引力判断
前置知识：万有引力定律、球壳定理
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 球内引力
设物体距地心为 \(r\)。均匀地球中只有半径 \(r\) 内的质量产生合引力，包围质量 \(M_r=M(r/R)^3\)。
2. 加速度关系
\(a=GM_r/r^2=GMr/R^3\)，所以加速度大小与到地心距离 \(r\) 成正比。
3. 结论
从入口到地心，\(r\) 减小，加速度减至零；越过地心后，\(r\) 增大，加速度增大。故选 D。
初学者探索过程
从“球壳与均匀球体引力场”开始探索
先把“例9：穿地隧道加速度”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“例9：穿地隧道加速度”后，判断为什么“把距地面高度直接代入万有引力公式中的球心距”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“等效叠加、分区引力判断”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把距地面高度直接代入万有引力公式中的球心距。
检查这个想法：先执行：先确定中心天体、距离是球心距还是高度，再写万有引力关系。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[a=GM_r/r^2=GMr/R^3\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先确定中心天体、距离是球心距还是高度，再写万有引力关系”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“等效叠加”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“球对称天体外部的引力由中心距离和中心天体质量决定”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“分区引力判断”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[a=GM_r/r^2=GMr/R^3\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：球对称天体外部的引力由中心距离和中心天体质量决定。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“等效叠加、分区引力判断”如何受条件变化控制。
现实同构案例
卫星测轨与行星参数反演：现实中的“球壳与均匀球体引力场”
现实场景
航天测控通过卫星轨道周期、距离和速度反推出中心天体的引力参数，并用于轨道预报。
题目与现实如何对应
题目中的中心天体和卫星对应真实行星与航天器，轨道半径和周期对应测轨数据。 当前题目“例9：穿地隧道加速度”训练的“等效叠加、分区引力判断”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[a=GM_r/r^2=GMr/R^3\]
更一般的模型关系是：
\[F=G\frac{Mm}{r^2}\]
球对称天体外部的引力由中心距离和中心天体质量决定，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实天体并非完全球对称。
- 多天体摄动会使轨道缓慢偏离理想二体模型。
带回原题想一想
把“例9：穿地隧道加速度”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先确定中心天体、距离是球心距还是高度，再写万有引力关系”建立模型。可先使用：
\[a=GM_r/r^2=GMr/R^3\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[a=GM_r/r^2=GMr/R^3\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：地球内部重力
**基础设问**
把地球视为均匀球体，表面重力加速度为 \(g\)。求距地心 \(R/3\) 处的重力加速度大小。
**综合提升**
设天体为密度均匀、半径 \(R\) 的球体。（1）推导内部距球心 \(r\) 处的重力加速度；（2）证明贯穿球心的真空隧道内运动为简谐运动；（3）求振动周期并用平均密度表示；（4）比较该周期与贴近表面的圆轨道周期。
变式答案
**1. 基础设问**
\(g'=g/3\)。
**2. 综合提升**
球内有效质量 \(M(r)=4\pi\rho r^3/3\)，故
\[g(r)=\frac{GM(r)}{r^2}=\frac{4\pi G\rho}{3}r.\]
沿隧道有 \(a=-\omega^2r\)，其中 \(\omega^2=4\pi G\rho/3\)，所以
\[T=2\pi\sqrt{\frac{3}{4\pi G\rho}}.\]
贴地圆轨道满足同一 \(GM/R^3=4\pi G\rho/3\)，周期相同。
思路提示
**基础思路**
均匀球体内部有 \(g(r)=g\,r/R\)。
**进阶思路**
关键升级是把表面重力推广到球内有效质量，再识别加速度与位移成正比的简谐结构。
真题拓展
同步卫星高度、行星密度与自转周期
高考真题 · 高度同构
2010年全国卷Ⅱ · 物理部分第8题
该真题与当前题同属“万有引力与天体参数”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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