题目
（多选）发射同步卫星时，先把卫星送入近地圆轨道 1，再于 P 点点火进入椭圆轨道 2，最后在 Q 点再次点火进入同步圆轨道 3。轨道 1、2 相切于 P 点，轨道 2、3 相切于 Q 点。下列说法正确的是（ ）。
选项
- A. 在轨道 3 上的速率大于轨道 1 上的速率
- B. 在轨道 3 上的角速度小于轨道 1 上的角速度
- C. 在轨道 2 上经过 Q 点时的加速度小于在轨道 3 上经过 Q 点时的加速度
- D. 在轨道 1 上经过 P 点时的加速度等于在轨道 2 上经过 P 点时的加速度
学习定位
卫星轨道与变轨
题族：圆轨道与转移椭圆
训练能力：变轨前后状态比较、转移时间与相位判断
前置知识：轨道机械能、开普勒第三定律
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 比较两圆轨道
圆轨道满足 \(v=\sqrt{GM/r}\)、\(\omega=\sqrt{GM/r^3}\)。轨道 3 半径更大，所以 \(v_3<v_1\)、\(\omega_3<\omega_1\)，B 正确、A 错误。
2. 比较同一点加速度
卫星在任一轨道上的加速度都由万有引力决定，\(a=GM/r^2\)，只与当前位置到地心的距离有关。
3. 判断 P、Q 两点
轨道 2 与轨道 3 在 Q 点的位置相同，故加速度相等，C 错误；轨道 1 与轨道 2 在 P 点的位置相同，加速度也相等，D 正确。故选 B、D。
初学者探索过程
从“圆轨道与转移椭圆”开始探索
先把“例8：同步卫星椭圆变轨”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“例8：同步卫星椭圆变轨”后，判断为什么“认为加速点火后航天器会立刻移动到更高圆轨道”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“变轨前后状态比较、转移时间与相位判断”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：认为加速点火后航天器会立刻移动到更高圆轨道。
检查这个想法：先执行：先标出点火位置和点火前后轨道，再判断速度突变方向与新轨道形状。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[a=GM/r^2\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先标出点火位置和点火前后轨道，再判断速度突变方向与新轨道形状”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“变轨前后状态比较”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“瞬时点火改变速度而不改变当时位置，新轨道必须通过点火点”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“转移时间与相位判断”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[a=GM/r^2\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：瞬时点火改变速度而不改变当时位置，新轨道必须通过点火点。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“变轨前后状态比较、转移时间与相位判断”如何受条件变化控制。
现实同构案例
卫星变轨与深空任务设计：现实中的“圆轨道与转移椭圆”
现实场景
卫星升轨、交会对接和行星探测都通过短时点火改变轨道能量和远近地点。
题目与现实如何对应
题目中的点火点、圆轨道和转移椭圆对应真实任务的机动时刻与轨道段。 当前题目“例8：同步卫星椭圆变轨”训练的“变轨前后状态比较、转移时间与相位判断”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[a=GM/r^2\]
更一般的模型关系是：
\[v^2=GM\left(\frac2r-\frac1a\right)\]
瞬时点火改变速度而不改变当时位置，新轨道必须通过点火点，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实点火持续一定时间而非瞬时。
- 任务设计还要考虑相位、燃料和摄动。
带回原题想一想
把“例8：同步卫星椭圆变轨”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先标出点火位置和点火前后轨道，再判断速度突变方向与新轨道形状”建立模型。可先使用：
\[a=GM/r^2\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[a=GM/r^2\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：同一点变轨比较
**基础设问**
卫星在半径为 \(r\) 的圆轨道上加速后进入远地点为 \(2r\) 的椭圆轨道。点火前后瞬间，其速度和加速度如何变化？
**综合提升**
中心天体质量为 \(M\)，用霍曼转移从半径 \(r_1\) 的圆轨道升至 \(r_2>r_1\)。（1）求转移椭圆半长轴和飞行时间；（2）分别写出转移轨道近、远点速度；（3）比较它们与对应圆轨道速度；（4）说明两次点火为什么都要沿速度方向加速。
变式答案
**1. 基础设问**
速度增大；位置未变，因此引力加速度大小仍为 \(GM/r^2\)，不发生突变。
**2. 综合提升**
转移椭圆半长轴 \(a_t=(r_1+r_2)/2\)，半个周期为
\[t_t=\pi\sqrt{\frac{a_t^3}{GM}}.\]
由活力公式
\[v_p=\sqrt{GM\left(\frac2{r_1}-\frac1{a_t}\right)},\qquad v_a=\sqrt{GM\left(\frac2{r_2}-\frac1{a_t}\right)}.\]
有 \(v_p>\sqrt{GM/r_1}\)、\(v_a<\sqrt{GM/r_2}\)。第一次加速进入更高远地点的椭圆，第二次在远点加速使轨道圆化。
思路提示
**基础思路**
变轨点速度可突变，而引力加速度由位置决定。
**进阶思路**
每次点火只改变速度，不瞬间改变位置和引力加速度；用活力公式比较同一点属于不同轨道的速度。