题目
（多选）行星 P 绕位于椭圆焦点 F 的太阳运行。椭圆半长轴、半短轴和焦距分别为 \(a、b、c\)，太阳质量为 \(M\)，行星质量为 \(m\)。引力势能 \(E_p=-GMm/r\)。行星在近焦点一侧端点 A、远焦点一侧端点 B 的速度分别为 \(v_A、v_B\)。下列说法正确的是（ ）。
选项
- A. \(v_B=\dfrac{a-c}{a+c}v_A\)
- B. 椭圆轨道机械能 \(E=-\dfrac{GMm}{2a}\)
- C. 椭圆轨道机械能 \(E=-\dfrac{GMm}{2b}\)
- D. 运行周期 \(T=\dfrac{2\pi a\sqrt b}{\sqrt{GM}}\)
学习定位
卫星轨道与变轨
题族：椭圆轨道速度与能量
训练能力：近日远日状态比较、角动量与能量联合
前置知识：角动量守恒、轨道机械能
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 近远点速度关系
A、B 两点速度均垂直于焦点连线。由角动量守恒 \(m(a-c)v_A=m(a+c)v_B\)，得 \(v_B=(a-c)v_A/(a+c)\)，A 正确。
2. 椭圆轨道机械能
万有引力场中的椭圆轨道总机械能只由半长轴决定：\(E=-GMm/(2a)\)。因此 B 正确、C 错误。
3. 检查周期
开普勒第三定律给出 \(T=2\pi\sqrt{a^3/(GM)}=2\pi a\sqrt a/\sqrt{GM}\)，并非使用半短轴 \(b\)，D 错误。故选 A、B。
初学者探索过程
从“椭圆轨道速度与能量”开始探索
先把“作业第10题：椭圆轨道速度与能量”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“作业第10题：椭圆轨道速度与能量”后，判断为什么“认为加速点火后航天器会立刻移动到更高圆轨道”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“近日远日状态比较、角动量与能量联合”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：认为加速点火后航天器会立刻移动到更高圆轨道。
检查这个想法：先执行：先标出点火位置和点火前后轨道，再判断速度突变方向与新轨道形状。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[T=2\pi\sqrt{a^3/(GM)}=2\pi a\sqrt a/\sqrt{GM}\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先标出点火位置和点火前后轨道，再判断速度突变方向与新轨道形状”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“近日远日状态比较”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“瞬时点火改变速度而不改变当时位置，新轨道必须通过点火点”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“角动量与能量联合”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[T=2\pi\sqrt{a^3/(GM)}=2\pi a\sqrt a/\sqrt{GM}\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：瞬时点火改变速度而不改变当时位置，新轨道必须通过点火点。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“近日远日状态比较、角动量与能量联合”如何受条件变化控制。
现实同构案例
卫星变轨与深空任务设计：现实中的“椭圆轨道速度与能量”
现实场景
卫星升轨、交会对接和行星探测都通过短时点火改变轨道能量和远近地点。
题目与现实如何对应
题目中的点火点、圆轨道和转移椭圆对应真实任务的机动时刻与轨道段。 当前题目“作业第10题：椭圆轨道速度与能量”训练的“近日远日状态比较、角动量与能量联合”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[T=2\pi\sqrt{a^3/(GM)}=2\pi a\sqrt a/\sqrt{GM}\]
更一般的模型关系是：
\[v^2=GM\left(\frac2r-\frac1a\right)\]
瞬时点火改变速度而不改变当时位置，新轨道必须通过点火点，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实点火持续一定时间而非瞬时。
- 任务设计还要考虑相位、燃料和摄动。
带回原题想一想
把“作业第10题：椭圆轨道速度与能量”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先标出点火位置和点火前后轨道，再判断速度突变方向与新轨道形状”建立模型。可先使用：
\[T=2\pi\sqrt{a^3/(GM)}=2\pi a\sqrt a/\sqrt{GM}\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[T=2\pi\sqrt{a^3/(GM)}=2\pi a\sqrt a/\sqrt{GM}\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：椭圆近远点速度比
**基础设问**
某椭圆轨道半长轴为 \(5R\)，焦距为 \(3R\)。求近地点速度与远地点速度之比。
**综合提升**
对同一中心天体的圆轨道，把半径从 \(r\) 连续调到 \(\lambda r\)。（1）推导 \(v,\omega,T,E\) 的比例；（2）若只测得周期比，反求半径比；（3）若卫星在原位置瞬时加速，说明它为何先进入椭圆而不是立即跳到新圆轨道；（4）比较点火瞬间加速度与速度的变化。
变式答案
**1. 基础设问**
近、远地点距离分别为 \(2R\)、\(8R\)。由角动量守恒，\(v_近:v_远=8:2=4:1\)。
**2. 综合提升**
圆轨道比例为 \(v\propto r^{-1/2}\)、\(\omega\propto r^{-3/2}\)、\(T\propto r^{3/2}\)、\(E=-GMm/(2r)\)。因此 \(r_2/r_1=(T_2/T_1)^{2/3}\)。瞬时点火只能改变速度，位置仍为原半径；新速度通常不等于该处圆轨道速度，故先形成以该点为近点或远点的椭圆。点火瞬间引力加速度不变，速度突变。
思路提示
**基础思路**
近远点速度都与半径垂直，可直接使用 \(r_近v_近=r_远v_远\)。
**进阶思路**
把‘圆轨道之间的比较’与‘瞬时变轨过程’分开，避免把目标圆轨道速度直接当成点火后的即时状态。