题目
A、B 两颗卫星在同一平面内沿同一方向绕地球做匀速圆周运动，它们之间的距离 \(\Delta r\) 随时间变化。图像给出最小距离为 \(3r\)、最大距离为 \(5r\)，相邻最小值的时间间隔为 \(T\)。地球半径为 \(0.8r\)，引力常量为 \(G\)，且 A 的线速度大于 B。下列说法正确的是（ ）。
选项
- A. 卫星 A 的加速度小于卫星 B 的加速度
- B. 卫星 A 与 B 的周期之比为 \(1:4\)
- C. 地球质量为 \(\dfrac{256\pi^2r^3}{49GT^2}\)
- D. 地球第一宇宙速度为 \(\dfrac{\sqrt5\pi r}{T}\)
学习定位
万有引力与天体参数
题族：卫星覆盖、追及与地面轨迹
训练能力：空间几何建模、相对角速度分析
前置知识：开普勒第三定律、圆周运动
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 由极值求轨道半径
同侧时距离最小、异侧时距离最大。设内外轨道半径为 \(r_A、r_B\)，则 \(r_B-r_A=3r\)、\(r_A+r_B=5r\)，解得 \(r_A=r\)、\(r_B=4r\)。
2. 求角速度关系
由 \(\omega\propto r^{-3/2}\)，\(\omega_A:\omega_B=8:1\)，故 \(T_A:T_B=1:8\)。相邻距离最小值间隔是会合周期，满足 \(\omega_A-\omega_B=2\pi/T\)。
3. 反求地球质量
由 \(\omega_B=\omega_A/8\) 得 \(7\omega_A/8=2\pi/T\)，所以 \(\omega_A=16\pi/(7T)\)。再用 \(GM=\omega_A^2r^3\)，得到 \(M=256\pi^2r^3/(49GT^2)\)，选 C。
初学者探索过程
从“卫星覆盖、追及与地面轨迹”开始探索
先把“作业第4题：双卫星距离图像”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“作业第4题：双卫星距离图像”后，判断为什么“把距地面高度直接代入万有引力公式中的球心距”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“空间几何建模、相对角速度分析”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把距地面高度直接代入万有引力公式中的球心距。
检查这个想法：先执行：先确定中心天体、距离是球心距还是高度，再写万有引力关系。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[\omega_A:\omega_B=8:1\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先确定中心天体、距离是球心距还是高度，再写万有引力关系”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“空间几何建模”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“球对称天体外部的引力由中心距离和中心天体质量决定”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“相对角速度分析”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[\omega_A:\omega_B=8:1\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：球对称天体外部的引力由中心距离和中心天体质量决定。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“空间几何建模、相对角速度分析”如何受条件变化控制。
现实同构案例
卫星测轨与行星参数反演：现实中的“卫星覆盖、追及与地面轨迹”
现实场景
航天测控通过卫星轨道周期、距离和速度反推出中心天体的引力参数，并用于轨道预报。
题目与现实如何对应
题目中的中心天体和卫星对应真实行星与航天器，轨道半径和周期对应测轨数据。 当前题目“作业第4题：双卫星距离图像”训练的“空间几何建模、相对角速度分析”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[\omega_A:\omega_B=8:1\]
更一般的模型关系是：
\[F=G\frac{Mm}{r^2}\]
球对称天体外部的引力由中心距离和中心天体质量决定，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实天体并非完全球对称。
- 多天体摄动会使轨道缓慢偏离理想二体模型。
带回原题想一想
把“作业第4题：双卫星距离图像”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先确定中心天体、距离是球心距还是高度，再写万有引力关系”建立模型。可先使用：
\[\omega_A:\omega_B=8:1\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[\omega_A:\omega_B=8:1\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：距离极值反求半径
**基础设问**
两颗同心圆轨道卫星间距最小为 \(2R\)、最大为 \(8R\)。求两轨道半径。
**综合提升**
两颗卫星绕同一中心天体同向做圆周运动，半径为 \(r_1<r_2\)。（1）求相对角速度和会合周期；（2）若初始相差角 \(\Delta\theta_0\)，求首次会合时间；（3）若改为反向运动重新作答；（4）说明距离图像的极大、极小时刻与相对相位的关系。
变式答案
**1. 基础设问**
由 \(r_外-r_内=2R\)、\(r_外+r_内=8R\)，得 \(r_内=3R\)、\(r_外=5R\)。
**2. 综合提升**
\(\omega_i=\sqrt{GM/r_i^3}\)。同向时
\[\omega_{rel}=|\omega_1-\omega_2|,\qquad T_{syn}=\frac{2\pi}{\omega_{rel}},\]
首次会合时间由 \(\Delta\theta_0+\omega_{rel}t=2n\pi\) 取最小正解。反向时相对角速度变为 \(\omega_1+\omega_2\)。相位差为 \(0\) 时距离极小，为 \(\pi\) 时距离极大。
思路提示
**基础思路**
同侧取差、异侧取和，联立两个极值方程。
**进阶思路**
先把各自轨道动力学转成角速度，再单独做相对运动；相对周期不是任一卫星自身周期。
真题拓展
同步卫星高度、行星密度与自转周期
高考真题 · 高度同构
2010年全国卷Ⅱ · 物理部分第8题
该真题与当前题同属“万有引力与天体参数”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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