题目
两颗星球质量分别为 \(m_1、m_2\)，中心距离恒为 \(L\)，绕共同质心做匀速圆周运动，轨道半径分别为 \(r_1、r_2\)，线速度分别为 \(v_1、v_2\)。已知引力常量为 \(G\)。求 \(r_1:r_2\)、\(v_1:v_2\) 和双星系统周期 \(T\)。
学习定位
双星与多星系统
题族：双星与多星圆周运动
训练能力：质心约束分析、多体引力合成
前置知识：万有引力、匀速圆周运动
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 质心与半径
共同质心条件为 \(m_1r_1=m_2r_2\)，且 \(r_1+r_2=L\)。因此 \(r_1:r_2=m_2:m_1\)。
2. 线速度之比
两星具有相同角速度 \(\omega\)，由 \(v=\omega r\) 得 \(v_1:v_2=r_1:r_2=m_2:m_1\)。
3. 求共同周期
对任一星列式并结合质心关系，可得 \(\omega^2=G(m_1+m_2)/L^3\)。所以 \(T=2\pi/\omega=2\pi\sqrt{L^3/[G(m_1+m_2)]}\)。
初学者探索过程
从“双星与多星圆周运动”开始探索
先把“例11：双星系统基本关系”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“例11：双星系统基本关系”后，判断为什么“认为质量不同的双星具有不同角速度”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“质心约束分析、多体引力合成”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：认为质量不同的双星具有不同角速度。
检查这个想法：先执行：先确定共同质心，再对每个天体分别写质心关系和向心动力学。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[m_1r_1=m_2r_2,\qquad \omega_1=\omega_2\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先确定共同质心，再对每个天体分别写质心关系和向心动力学”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“质心约束分析”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“稳定双星绕共同质心转动，角速度相同而轨道半径与质量成反比”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“多体引力合成”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[m_1r_1=m_2r_2,\qquad \omega_1=\omega_2\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：稳定双星绕共同质心转动，角速度相同而轨道半径与质量成反比。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“质心约束分析、多体引力合成”如何受条件变化控制。
现实同构案例
双星观测与恒星质量测量：现实中的“双星与多星圆周运动”
现实场景
天文学家通过双星的周期、轨道尺度和质心位置估算两颗恒星的质量。
题目与现实如何对应
题目中的两颗或多颗星对应观测天体，轨道半径和周期对应天文测量数据。 当前题目“例11：双星系统基本关系”训练的“质心约束分析、多体引力合成”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[m_1r_1=m_2r_2,\qquad \omega_1=\omega_2\]
更一般的模型关系是：
\[m_1r_1=m_2r_2,\qquad \omega_1=\omega_2\]
稳定双星绕共同质心转动，角速度相同而轨道半径与质量成反比，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实轨道常为椭圆而非圆。
- 观测到的是轨道在天空平面的投影。
带回原题想一想
把“例11：双星系统基本关系”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先确定共同质心，再对每个天体分别写质心关系和向心动力学”建立模型。可先使用：
\[m_1r_1=m_2r_2,\qquad \omega_1=\omega_2\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[m_1r_1=m_2r_2,\qquad \omega_1=\omega_2\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：等质量双星
**基础设问**
两颗质量均为 \(m\) 的恒星相距 \(L\)，求每颗星的轨道半径和系统周期。
**综合提升**
质量为 \(M,m\) 的双星相距 \(L\)，绕共同质心做圆周运动。（1）求两星轨道半径；（2）推导共同角速度和周期；（3）在 \(L\) 不变、总质量不变时，把少量质量由 \(M\) 转移给 \(m\)，讨论周期是否改变；（4）讨论两星线速度之比怎样变化。
变式答案
**1. 基础设问**
\(r_1=r_2=L/2\)，\(T=2\pi\sqrt{L^3/(2Gm)}\)。
**2. 综合提升**
质心关系给出
\[r_M=\frac{m}{M+m}L,\qquad r_m=\frac{M}{M+m}L.\]
由万有引力提供向心力得
\[\omega^2=\frac{G(M+m)}{L^3},\qquad T=2\pi\sqrt{\frac{L^3}{G(M+m)}}.\]
若 \(L\) 与总质量均不变，周期不变；速度比 \(v_M:v_m=r_M:r_m=m:M\)，会随质量分配改变。
思路提示
**基础思路**
等质量时质心位于连线中点，再代入双星周期公式。
**进阶思路**
先由质心分配半径，再由总质量决定共同角速度；质量转移可能改变半径比，却不一定改变周期。