题目
地球同步轨道站向赤道基站垂下一条缆绳。物体 Q 随太空电梯到达低于同步轨道的 a 位置并停在那里；一颗自由运行的卫星 P 恰与 Q 同高度。下列说法正确的是（ ）。
选项
- A. Q 与 P 的速度相同
- B. Q 与 P 的周期相同
- C. Q 处于完全失重状态
- D. Q 的向心加速度小于 P 的向心加速度
学习定位
万有引力与天体参数
题族：卫星类型与轨道参数比较
训练能力：轨道量比较、模型真假辨析
前置知识：圆轨道速度、同步卫星
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 识别两种运动
Q 被缆绳约束，与地球同角速度转动，周期为地球自转周期；P 是同高度自由圆轨道卫星，角速度由 \(\omega_P=\sqrt{GM/r^3}\) 决定。
2. 比较角速度
a 位置低于同步轨道，因此自由卫星 P 的角速度大于地球自转角速度，即 \(\omega_P>\omega_Q\)。同半径下 \(v=\omega r\)，所以速度和周期均不相同。
3. 比较加速度与受力
同半径下 \(a=\omega^2r\)，故 \(a_Q<a_P\)。Q 还受缆绳作用，并非完全失重。选 D。
初学者探索过程
从“卫星类型与轨道参数比较”开始探索
先把“作业第2题：太空电梯与卫星比较”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“作业第2题：太空电梯与卫星比较”后，判断为什么“把距地面高度直接代入万有引力公式中的球心距”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“轨道量比较、模型真假辨析”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把距地面高度直接代入万有引力公式中的球心距。
检查这个想法：先执行：先确定中心天体、距离是球心距还是高度，再写万有引力关系。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[a=\omega^2r\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先确定中心天体、距离是球心距还是高度，再写万有引力关系”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“轨道量比较”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“球对称天体外部的引力由中心距离和中心天体质量决定”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“模型真假辨析”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[a=\omega^2r\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：球对称天体外部的引力由中心距离和中心天体质量决定。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“轨道量比较、模型真假辨析”如何受条件变化控制。
现实同构案例
卫星测轨与行星参数反演：现实中的“卫星类型与轨道参数比较”
现实场景
航天测控通过卫星轨道周期、距离和速度反推出中心天体的引力参数，并用于轨道预报。
题目与现实如何对应
题目中的中心天体和卫星对应真实行星与航天器，轨道半径和周期对应测轨数据。 当前题目“作业第2题：太空电梯与卫星比较”训练的“轨道量比较、模型真假辨析”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[a=\omega^2r\]
更一般的模型关系是：
\[F=G\frac{Mm}{r^2}\]
球对称天体外部的引力由中心距离和中心天体质量决定，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实天体并非完全球对称。
- 多天体摄动会使轨道缓慢偏离理想二体模型。
带回原题想一想
把“作业第2题：太空电梯与卫星比较”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先确定中心天体、距离是球心距还是高度，再写万有引力关系”建立模型。可先使用：
\[a=\omega^2r\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[a=\omega^2r\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：同步缆绳上的物体
**基础设问**
缆绳上某物体位于同步轨道半径的一半处，并随地球转动。其向心加速度与同高度自由卫星相比谁更大？
**综合提升**
两颗卫星绕同一中心天体同向做圆周运动，半径为 \(r_1<r_2\)。（1）求相对角速度和会合周期；（2）若初始相差角 \(\Delta\theta_0\)，求首次会合时间；（3）若改为反向运动重新作答；（4）说明距离图像的极大、极小时刻与相对相位的关系。
变式答案
**1. 基础设问**
自由卫星更大，因为该高度低于同步轨道，\(\omega_卫>\omega_地\)，同半径下 \(a=\omega^2r\)。
**2. 综合提升**
\(\omega_i=\sqrt{GM/r_i^3}\)。同向时
\[\omega_{rel}=|\omega_1-\omega_2|,\qquad T_{syn}=\frac{2\pi}{\omega_{rel}},\]
首次会合时间由 \(\Delta\theta_0+\omega_{rel}t=2n\pi\) 取最小正解。反向时相对角速度变为 \(\omega_1+\omega_2\)。相位差为 \(0\) 时距离极小，为 \(\pi\) 时距离极大。
思路提示
**基础思路**
先区分“随地球转动”和“由万有引力独立运行”。
**进阶思路**
先把各自轨道动力学转成角速度，再单独做相对运动；相对周期不是任一卫星自身周期。
真题拓展
同步卫星高度、行星密度与自转周期
高考真题 · 高度同构
2010年全国卷Ⅱ · 物理部分第8题
该真题与当前题同属“万有引力与天体参数”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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