题目
（多选）在 X 星球表面，用长为 \(R\) 的轻杆连接小球，使小球在竖直平面内做圆周运动。小球到达最高点时，弹力为 \(F\)、速度为 \(v\)，测得 \(F-v^2\) 图像是一条直线，纵轴截距为 \(a\)，横轴截距为 \(b\)。已知 X 星球半径为 \(R_0\)，引力常量为 \(G\)，忽略自转。下列说法正确的是（ ）。
选项
- A. X 星球第一宇宙速度 \(v_1=\sqrt b\)
- B. X 星球密度 \(\rho=\dfrac{3b}{4\pi GRR_0}\)
- C. X 星球质量 \(M=\dfrac{bR_0^2}{GR}\)
- D. 离星球表面高度为 \(R_0\) 的卫星周期 \(T=4\pi\sqrt{\dfrac{2RR_0}{b}}\)
学习定位
万有引力与天体参数
题族：星球表面重力与竖直运动
训练能力：天体参数换算、局部重力运动建模
前置知识：万有引力、竖直运动
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 解释横轴截距
最高点取竖直向上的弹力为正，径向方程可写为 \(mg-F=mv^2/R\)，即 \(F=mg-mv^2/R\)。当 \(F=0\) 时 \(v^2=gR\)，由横轴截距得 \(b=gR\)，所以 \(g=b/R\)。
2. 求质量与密度
由 \(g=GM/R_0^2\)，得 \(M=bR_0^2/(GR)\)。再由 \(\rho=3M/(4\pi R_0^3)\)，得 \(\rho=3b/(4\pi GRR_0)\)。B、C 正确。
3. 检查第一宇宙速度
\(v_1=\sqrt{gR_0}=\sqrt{bR_0/R}\)，一般不等于 \(\sqrt b\)，A 错误。
4. 求高空卫星周期
卫星轨道半径为 \(2R_0\)。由 \(T=2\pi\sqrt{(2R_0)^3/(GM)}\) 并代入 \(GM=bR_0^2/R\)，得 \(T=4\pi\sqrt{2RR_0/b}\)，D 正确。故选 B、C、D。
初学者探索过程
从“星球表面重力与竖直运动”开始探索
先把“作业第8题：轻杆弹力图像测星球”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“作业第8题：轻杆弹力图像测星球”后，判断为什么“把距地面高度直接代入万有引力公式中的球心距”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“天体参数换算、局部重力运动建模”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把距地面高度直接代入万有引力公式中的球心距。
检查这个想法：先执行：先确定中心天体、距离是球心距还是高度，再写万有引力关系。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[b=gR\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先确定中心天体、距离是球心距还是高度，再写万有引力关系”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“天体参数换算”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“球对称天体外部的引力由中心距离和中心天体质量决定”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“局部重力运动建模”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[b=gR\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：球对称天体外部的引力由中心距离和中心天体质量决定。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“天体参数换算、局部重力运动建模”如何受条件变化控制。
现实同构案例
卫星测轨与行星参数反演：现实中的“星球表面重力与竖直运动”
现实场景
航天测控通过卫星轨道周期、距离和速度反推出中心天体的引力参数，并用于轨道预报。
题目与现实如何对应
题目中的中心天体和卫星对应真实行星与航天器，轨道半径和周期对应测轨数据。 当前题目“作业第8题：轻杆弹力图像测星球”训练的“天体参数换算、局部重力运动建模”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[b=gR\]
更一般的模型关系是：
\[F=G\frac{Mm}{r^2}\]
球对称天体外部的引力由中心距离和中心天体质量决定，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实天体并非完全球对称。
- 多天体摄动会使轨道缓慢偏离理想二体模型。
带回原题想一想
把“作业第8题：轻杆弹力图像测星球”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先确定中心天体、距离是球心距还是高度，再写万有引力关系”建立模型。可先使用：
\[b=gR\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[b=gR\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：弹力零点求重力
**基础设问**
长为 \(L\) 的轻杆带小球在某星球表面做竖直圆周运动。最高点弹力恰为零时 \(v^2=c\)。求该星球表面重力加速度。
**综合提升**
对同一中心天体的圆轨道，把半径从 \(r\) 连续调到 \(\lambda r\)。（1）推导 \(v,\omega,T,E\) 的比例；（2）若只测得周期比，反求半径比；（3）若卫星在原位置瞬时加速，说明它为何先进入椭圆而不是立即跳到新圆轨道；（4）比较点火瞬间加速度与速度的变化。
变式答案
**1. 基础设问**
由 \(mg=mv^2/L\)，得 \(g=c/L\)。
**2. 综合提升**
圆轨道比例为 \(v\propto r^{-1/2}\)、\(\omega\propto r^{-3/2}\)、\(T\propto r^{3/2}\)、\(E=-GMm/(2r)\)。因此 \(r_2/r_1=(T_2/T_1)^{2/3}\)。瞬时点火只能改变速度，位置仍为原半径；新速度通常不等于该处圆轨道速度，故先形成以该点为近点或远点的椭圆。点火瞬间引力加速度不变，速度突变。
思路提示
**基础思路**
把图像横轴截距还原为最高点弹力为零的临界状态。
**进阶思路**
把‘圆轨道之间的比较’与‘瞬时变轨过程’分开，避免把目标圆轨道速度直接当成点火后的即时状态。
真题拓展
同步卫星高度、行星密度与自转周期
高考真题 · 高度同构
2010年全国卷Ⅱ · 物理部分第8题
该真题与当前题同属“万有引力与天体参数”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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