题目
当天体逃逸速度超过光速 \(c\) 时，该天体可视为黑洞。已知第二宇宙速度为第一宇宙速度的 \(\sqrt2\) 倍，引力常量为 \(G\)。质量为 \(M\)、半径取最大值的黑洞，其自转周期的最小值为（ ）。
选项
- A. \(\dfrac{2\sqrt2\pi GM}{c^2}\)
- B. \(\dfrac{4\sqrt2\pi GM}{c^3}\)
- C. \(\dfrac{4\sqrt2\pi GM}{c^2}\)
- D. \(\dfrac{2\sqrt2\pi GM}{c^3}\)
学习定位
万有引力与天体参数
题族：致密天体逃逸与自转临界
训练能力：极限条件建模、量纲与比例推导
前置知识：逃逸速度、向心力
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 求最大半径
临界黑洞满足逃逸速度 \(v_e=\sqrt{2GM/R}=c\)，所以 \(R=2GM/c^2\)。
2. 确定最小周期条件
天体表面不被自转甩出的临界条件为 \(GMm/R^2=m\omega^2R\)，因此最小周期 \(T=2\pi\sqrt{R^3/(GM)}\)。
3. 代入化简
代入 \(R=2GM/c^2\)，得 \(T=2\pi\sqrt{8G^2M^2/c^6}=4\sqrt2\pi GM/c^3\)，故选 B。
初学者探索过程
从“致密天体逃逸与自转临界”开始探索
先把“作业第7题：黑洞最小自转周期”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“作业第7题：黑洞最小自转周期”后，判断为什么“把距地面高度直接代入万有引力公式中的球心距”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“极限条件建模、量纲与比例推导”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把距地面高度直接代入万有引力公式中的球心距。
检查这个想法：先执行：先确定中心天体、距离是球心距还是高度，再写万有引力关系。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[T=2\pi\sqrt{8G^2M^2/c^6}=4\sqrt2\pi GM/c^3\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先确定中心天体、距离是球心距还是高度，再写万有引力关系”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“极限条件建模”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“球对称天体外部的引力由中心距离和中心天体质量决定”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“量纲与比例推导”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[T=2\pi\sqrt{8G^2M^2/c^6}=4\sqrt2\pi GM/c^3\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：球对称天体外部的引力由中心距离和中心天体质量决定。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“极限条件建模、量纲与比例推导”如何受条件变化控制。
现实同构案例
卫星测轨与行星参数反演：现实中的“致密天体逃逸与自转临界”
现实场景
航天测控通过卫星轨道周期、距离和速度反推出中心天体的引力参数，并用于轨道预报。
题目与现实如何对应
题目中的中心天体和卫星对应真实行星与航天器，轨道半径和周期对应测轨数据。 当前题目“作业第7题：黑洞最小自转周期”训练的“极限条件建模、量纲与比例推导”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[T=2\pi\sqrt{8G^2M^2/c^6}=4\sqrt2\pi GM/c^3\]
更一般的模型关系是：
\[F=G\frac{Mm}{r^2}\]
球对称天体外部的引力由中心距离和中心天体质量决定，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实天体并非完全球对称。
- 多天体摄动会使轨道缓慢偏离理想二体模型。
带回原题想一想
把“作业第7题：黑洞最小自转周期”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先确定中心天体、距离是球心距还是高度，再写万有引力关系”建立模型。可先使用：
\[T=2\pi\sqrt{8G^2M^2/c^6}=4\sqrt2\pi GM/c^3\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[T=2\pi\sqrt{8G^2M^2/c^6}=4\sqrt2\pi GM/c^3\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：逃逸速度临界半径
**基础设问**
若某天体质量为 \(2M\)，要求其逃逸速度等于 \(c\)，临界半径是多少？
**综合提升**
用经典逃逸速度估算质量为 \(M\) 的致密天体临界半径。（1）令逃逸速度等于光速求 \(R_c\)；（2）求该半径处的近地圆轨道周期的经典表达式；（3）若质量变为 \(\lambda M\)，讨论 \(R_c\) 与该周期的缩放；（4）说明经典模型的适用局限。
变式答案
**1. 基础设问**
\(R=2G(2M)/c^2=4GM/c^2\)。
**2. 综合提升**
由 \(v_e=\sqrt{2GM/R}=c\) 得
\[R_c=\frac{2GM}{c^2}.\]
经典圆轨道周期
\[T=2\pi\sqrt{\frac{R_c^3}{GM}}=\frac{4\sqrt2\pi GM}{c^3}.\]
质量乘 \(\lambda\) 后二者都乘 \(\lambda\)。接近该尺度时应使用广义相对论，经典轨道解释只能作数量级估算。
思路提示
**基础思路**
从 \(\sqrt{2GM/R}=c\) 直接解半径。
**进阶思路**
把逃逸临界与圆轨道公式联立可得到缩放关系，同时要明确强引力区经典模型会失效。
真题拓展
同步卫星高度、行星密度与自转周期
高考真题 · 高度同构
2010年全国卷Ⅱ · 物理部分第8题
该真题与当前题同属“万有引力与天体参数”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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