题目
（多选）双星 a、b 绕共同质心 O 逆时针做匀速圆周运动，周期为 \(T_0\)，双星间距为 \(L\)。卫星 c 绕质量为 \(m\) 的脉冲星 b 逆时针做匀速圆周运动，周期为 \(T<T_0\)。忽略 a 对 c 的影响，引力常量为 \(G\)。下列说法正确的是（ ）。
选项
- A. 双星 a、b 的质量和为 \(\dfrac{4\pi^2L^3}{GT_0^2}\)
- B. 卫星 c 每秒转过的弧长为 \(\sqrt{\dfrac{2\pi Gm}{T}}\)
- C. 卫星 c 的向心加速度为 \(\dfrac{4\pi^3}{T}\sqrt[3]{\dfrac{2\pi Gm}{T}}\)
- D. a、b、c 三星相邻两次共线的时间间隔为 \(\dfrac{TT_0}{2(T_0-T)}\)
学习定位
双星与多星系统
题族：双星与多星圆周运动
训练能力：质心约束分析、多体引力合成
前置知识：万有引力、匀速圆周运动
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 双星总质量
双星系统满足 \(T_0^2=4\pi^2L^3/[G(m_a+m_b)]\)，故 \(m_a+m_b=4\pi^2L^3/(GT_0^2)\)，A 正确。
2. 卫星 c 的实际速度
由 \(T^2=4\pi^2r_c^3/(Gm)\)，得 \(r_c=[GmT^2/(4\pi^2)]^{1/3}\)，进而 \(v_c=2\pi r_c/T=(2\pi Gm/T)^{1/3}\)。B 给的是平方根，错误。
3. 检查向心加速度
正确关系为 \(a_c=\omega_cv_c=(2\pi/T)(2\pi Gm/T)^{1/3}\)，与 C 的系数不符，C 错误。
4. 求共线间隔
c 相对双星连线的角速度为 \(2\pi(1/T-1/T_0)\)。每相对转过 \(\pi\) 就再次共线，因此 \(\Delta t=\pi/[2\pi(1/T-1/T_0)]=TT_0/[2(T_0-T)]\)，D 正确。故选 A、D。
初学者探索过程
从“双星与多星圆周运动”开始探索
先把“作业第9题：脉冲双星与伴星卫星”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“作业第9题：脉冲双星与伴星卫星”后，判断为什么“认为质量不同的双星具有不同角速度”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“质心约束分析、多体引力合成”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：认为质量不同的双星具有不同角速度。
检查这个想法：先执行：先确定共同质心，再对每个天体分别写质心关系和向心动力学。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[v_c=2\pi r_c/T=(2\pi Gm/T)^{1/3}\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先确定共同质心，再对每个天体分别写质心关系和向心动力学”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“质心约束分析”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“稳定双星绕共同质心转动，角速度相同而轨道半径与质量成反比”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“多体引力合成”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[v_c=2\pi r_c/T=(2\pi Gm/T)^{1/3}\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：稳定双星绕共同质心转动，角速度相同而轨道半径与质量成反比。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“质心约束分析、多体引力合成”如何受条件变化控制。
现实同构案例
双星观测与恒星质量测量：现实中的“双星与多星圆周运动”
现实场景
天文学家通过双星的周期、轨道尺度和质心位置估算两颗恒星的质量。
题目与现实如何对应
题目中的两颗或多颗星对应观测天体，轨道半径和周期对应天文测量数据。 当前题目“作业第9题：脉冲双星与伴星卫星”训练的“质心约束分析、多体引力合成”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[v_c=2\pi r_c/T=(2\pi Gm/T)^{1/3}\]
更一般的模型关系是：
\[m_1r_1=m_2r_2,\qquad \omega_1=\omega_2\]
稳定双星绕共同质心转动，角速度相同而轨道半径与质量成反比，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实轨道常为椭圆而非圆。
- 观测到的是轨道在天空平面的投影。
带回原题想一想
把“作业第9题：脉冲双星与伴星卫星”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先确定共同质心，再对每个天体分别写质心关系和向心动力学”建立模型。可先使用：
\[v_c=2\pi r_c/T=(2\pi Gm/T)^{1/3}\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[v_c=2\pi r_c/T=(2\pi Gm/T)^{1/3}\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：双周期共线
**基础设问**
两个同向转动的方向量周期分别为 \(2\,\mathrm h\) 与 \(6\,\mathrm h\)。若共线不区分同向和反向，求相邻两次共线间隔。
**综合提升**
质量为 \(M,m\) 的双星相距 \(L\)，绕共同质心做圆周运动。（1）求两星轨道半径；（2）推导共同角速度和周期；（3）在 \(L\) 不变、总质量不变时，把少量质量由 \(M\) 转移给 \(m\)，讨论周期是否改变；（4）讨论两星线速度之比怎样变化。
变式答案
**1. 基础设问**
\(\Delta t=\pi/[2\pi(1/2-1/6)]=1.5\,\mathrm h\)。
**2. 综合提升**
质心关系给出
\[r_M=\frac{m}{M+m}L,\qquad r_m=\frac{M}{M+m}L.\]
由万有引力提供向心力得
\[\omega^2=\frac{G(M+m)}{L^3},\qquad T=2\pi\sqrt{\frac{L^3}{G(M+m)}}.\]
若 \(L\) 与总质量均不变，周期不变；速度比 \(v_M:v_m=r_M:r_m=m:M\)，会随质量分配改变。
思路提示
**基础思路**
不区分同向、反向时，相对角每变化 \(\pi\) 就出现一次共线。
**进阶思路**
先由质心分配半径，再由总质量决定共同角速度；质量转移可能改变半径比，却不一定改变周期。