行星运动与变轨等问题

章节题目概括

1. 例1：四类地球卫星比较

   有 \(a、b、c、d\) 四颗地球卫星，\(a\) 在地球赤道上未发射，\(b\) 在地面附近的近地轨道上正常运动，\(c\) 是地球同步卫星，\(d\) 是高空探测卫星。各卫星由内到外排列如图，判断下列说法正确的是（ ）。

2. 例2：系外行星反推恒星质量

   行星“51 peg b”绕中心恒星做匀速圆周运动，周期约为 \(4\) 天，轨道半径约为地球绕太阳轨道半径的 \(1/20\)。该中心恒星与太阳的质量比约为（ ）。

3. 例3：赤道物体与两类卫星比较

   质量相等的三个物体分别为：随地球自转的赤道物体、贴近地面运行的近地卫星和地球同步卫星。它们的向心力、向心加速度、线速度、角速度依次记为 \(F_i、a_i、v_i、\omega_i\)。地表重力加速度为 \(g\)，第一宇宙速度为 \(v\)。下列说法正确的是（ ）。

4. 例4：土星环身份判别

   （多选）为判断土星外层的环是土星的一部分还是土星的卫星群，可测量环中各层线速度 \(v\) 与该层到土星中心距离 \(R\) 的关系。下列说法正确的是（ ）。

5. 例5：三颗同步卫星的最小周期

   三颗位置适当的地球同步卫星可使赤道上任意两点保持无线电通信。当前同步卫星轨道半径约为地球半径的 \(6.6\) 倍。若地球自转周期变小，仍只用三颗同步卫星实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为（ ）。

6. 例6：飞船日全食与轨道几何

   （多选）宇宙飞船以周期 \(T\) 绕地球做圆周运动。地球半径为 \(R\)、质量为 \(M\)，引力常量为 \(G\)，地球自转周期为 \(T_0\)。太阳光可视为平行光，宇航员在轨道上 A 点测得地球张角为 \(\alpha\)。下列说法正确的是（ ）。

7. 例7：地平线闪光卫星周期

   地球赤道上某人在日落后八小时，刚好看到西边地平线上一颗卫星闪亮一下后消失。卫星轨道半径低于同步卫星轨道半径。已知地球半径为 \(R\)，地表重力加速度为 \(g\)，引力常量为 \(G\)。卫星自身不发光，反射太阳光，忽略大气折射。求该卫星的运行周期。

8. 例8：同步卫星椭圆变轨

   （多选）发射同步卫星时，先把卫星送入近地圆轨道 1，再于 P 点点火进入椭圆轨道 2，最后在 Q 点再次点火进入同步圆轨道 3。轨道 1、2 相切于 P 点，轨道 2、3 相切于 Q 点。下列说法正确的是（ ）。

9. 例9：嫦娥三号环月轨道

   “嫦娥三号”由地球发射，经地月转移进入环月轨道 1，再变轨到半径更小的环月轨道 2，随后动力下降。下列说法正确的是（ ）。

10. 例10：地火霍曼转移

    地球和火星在同一平面内绕太阳做圆周运动，火星轨道半径为地球轨道半径 \(R_e\) 的 \(1.5\) 倍。探测器从地球轨道点火后，沿与地球、火星轨道分别在长轴两端相切的半椭圆转移轨道飞向火星。某年 3 月 1 日零时，探测器与火星的角距离为 \(60^\circ\)，火星沿公转方向领先。已知 \(T_e=…

11. 例11：双星系统基本关系

    两颗星球质量分别为 \(m_1、m_2\)，中心距离恒为 \(L\)，绕共同质心做匀速圆周运动，轨道半径分别为 \(r_1、r_2\)，线速度分别为 \(v_1、v_2\)。已知引力常量为 \(G\)。求 \(r_1:r_2\)、\(v_1:v_2\) 和双星系统周期 \(T\)。

12. 例12：双星质量转移

    （多选）双星系统中质量较小的星体吸收质量较大星体的表面物质，双星总质量不变、星间距离缓慢增大，轨道近似为圆。下列说法正确的是（ ）。

13. 例13：直线与三角形三星系统

    （多选）三颗质量均为 \(m\) 的恒星组成稳定三星系统。甲图中三颗星共线，相邻距离均为 \(L\)，两颗外星绕中央星转动；乙图中三颗星位于边长为 \(L\) 的等边三角形顶点，并绕三角形中心运行。引力常量为 \(G\)。下列说法正确的是（ ）。

14. 作业第1题：嫦娥四号绕月速度

    “嫦娥四号”着陆前曾绕月球做匀速圆周运动，轨道半径为月球半径的 \(K\) 倍。地球质量是月球质量的 \(P\) 倍，地球半径 \(R\) 是月球半径的 \(Q\) 倍，地表重力加速度为 \(g\)。则探测器绕月速率为（ ）。

15. 作业第2题：太空电梯与卫星比较

    地球同步轨道站向赤道基站垂下一条缆绳。物体 Q 随太空电梯到达低于同步轨道的 a 位置并停在那里；一颗自由运行的卫星 P 恰与 Q 同高度。下列说法正确的是（ ）。

16. 作业第3题：赤道卫星连续监测

    地球赤道上空有一颗与地球自转同向运行的卫星 A，对赤道覆盖的最大张角 \(\alpha=60^\circ\)。赤道上有卫星监测站 B，已知近地卫星周期约为 \(1.4\,\mathrm h\)。监测站 B 连续监测到卫星 A 的最长时间约为（ ）。

17. 作业第4题：双卫星距离图像

    A、B 两颗卫星在同一平面内沿同一方向绕地球做匀速圆周运动，它们之间的距离 \(\Delta r\) 随时间变化。图像给出最小距离为 \(3r\)、最大距离为 \(5r\)，相邻最小值的时间间隔为 \(T\)。地球半径为 \(0.8r\)，引力常量为 \(G\)，且 A 的线速度大于 B。下列说法正确的是（…

18. 作业第5题：天舟八号变轨对接

    “天舟八号”从近地圆轨道 1 的 P 点点火进入椭圆轨道 2，在远地点 Q 再次变轨到圆轨道 3，随后从目标飞行器后下方约 \(52\,\mathrm{km}\) 处交会对接。下列说法正确的是（ ）。

19. 作业第6题：卫星星下点轨迹

    卫星 FZ01 的“星下点”轨迹如图，在全球经度范围内形成三个相同波瓣，最高纬度为 \(30^\circ\)。已知地球同步卫星轨道半径为 \(r=6.6R\)，FZ01 的绕行方向与地球自转方向一致。下列说法正确的是（ ）。

20. 作业第7题：黑洞最小自转周期

    当天体逃逸速度超过光速 \(c\) 时，该天体可视为黑洞。已知第二宇宙速度为第一宇宙速度的 \(\sqrt2\) 倍，引力常量为 \(G\)。质量为 \(M\)、半径取最大值的黑洞，其自转周期的最小值为（ ）。

21. 作业第8题：轻杆弹力图像测星球

    （多选）在 X 星球表面，用长为 \(R\) 的轻杆连接小球，使小球在竖直平面内做圆周运动。小球到达最高点时，弹力为 \(F\)、速度为 \(v\)，测得 \(F-v^2\) 图像是一条直线，纵轴截距为 \(a\)，横轴截距为 \(b\)。已知 X 星球半径为 \(R_0\)，引力常量为 \(G\)，忽略自…

22. 作业第9题：脉冲双星与伴星卫星

    （多选）双星 a、b 绕共同质心 O 逆时针做匀速圆周运动，周期为 \(T_0\)，双星间距为 \(L\)。卫星 c 绕质量为 \(m\) 的脉冲星 b 逆时针做匀速圆周运动，周期为 \(T<T_0\)。忽略 a 对 c 的影响，引力常量为 \(G\)。下列说法正确的是（ ）。

23. 作业第10题：椭圆轨道速度与能量

    （多选）行星 P 绕位于椭圆焦点 F 的太阳运行。椭圆半长轴、半短轴和焦距分别为 \(a、b、c\)，太阳质量为 \(M\)，行星质量为 \(m\)。引力势能 \(E_p=-GMm/r\)。行星在近焦点一侧端点 A、远焦点一侧端点 B 的速度分别为 \(v_A、v_B\)。下列说法正确的是（ ）。

章节定理、规律与公式汇总

核心定理与规律

1. 开普勒第三定律中的周期与轨道半长轴对应，同一中心天体的轨道满足相同常量。
2. 瞬时点火只改变速度，不改变点火瞬间的位置；加速进入更高轨道，减速进入更低轨道。
3. 双星绕共同质心具有相同角速度，质心关系和万有引力共同决定轨道半径与周期。

常用公式

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