题目
C919 正在空中沿半径为 \(r\) 的水平圆周做匀速盘旋，飞行速率为 \(v=\sqrt{\frac{gr}{2}}\)，重力加速度大小为 \(g\)，则飞机受到的升力为自身重力的（ ）
选项
- A. \(\frac{3}{2}\) 倍
- B. \(\frac{5}{4}\) 倍
- C. \(\frac{\sqrt5}{2}\) 倍
- D. \(\sqrt5\) 倍
学习定位
圆周运动动力学
题族：圆周运动受力分解
训练能力：向心方向确定、径向受力方程
前置知识：牛顿第二定律、向心加速度
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
整体解析
分步解析
1. 条件提取
飞机水平盘旋时，升力 \(F\) 的竖直分量平衡重力，水平分量提供向心力。
2. 建模
故 \(F_y=mg\)，\(F_x=m\frac{v^2}{r}=m\frac{gr/2}{r}=\frac12mg\)。
3. 结论
升力大小为 \(F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}=mg\sqrt{1+\frac14}=\frac{\sqrt5}{2}mg\)，所以升力为自身重力的 \(\frac{\sqrt5}{2}\) 倍。
初学者探索过程
从“圆周运动受力分解”开始探索
先把“A2：飞机水平盘旋升力”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“A2：飞机水平盘旋升力”后，判断为什么“把向心力当成物体额外受到的一种力”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“向心方向确定、径向受力方程”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把向心力当成物体额外受到的一种力。
检查这个想法：先执行：先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}=mg\sqrt{1+\frac14}=\frac{\sqrt5}{2}mg\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“向心方向确定”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“径向受力方程”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}=mg\sqrt{1+\frac14}=\frac{\sqrt5}{2}mg\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“向心方向确定、径向受力方程”如何受条件变化控制。
现实同构案例
弯道、转盘与旋转设备：现实中的“圆周运动受力分解”
现实场景
车辆转弯、离心机、游乐设施和工业转盘都需要由接触力或约束力持续改变速度方向。
题目与现实如何对应
题目中的圆心、半径和转速对应设备的旋转轴、工作半径和运行转速；支持力、摩擦力或拉力对应现实中的结构载荷。 当前题目“A2：飞机水平盘旋升力”训练的“向心方向确定、径向受力方程”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}=mg\sqrt{1+\frac14}=\frac{\sqrt5}{2}mg\]
更一般的模型关系是：
\[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]
无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 现实接触面的摩擦系数会随材料和温度变化。
- 高速转动还要考虑振动、形变和安全系数。
带回原题想一想
把“A2：飞机水平盘旋升力”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力”建立模型。可先使用：
\[F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}=mg\sqrt{1+\frac14}=\frac{\sqrt5}{2}mg\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}=mg\sqrt{1+\frac14}=\frac{\sqrt5}{2}mg\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：盘旋升力倍数
**基础设问**
飞机水平盘旋时，若所需向心力为 \(\frac34mg\)，求升力是重力的多少倍。
**综合提升**
半径为 \(r\)、倾角为 \(\theta\) 的弯道先按无摩擦设计，再考虑静摩擦因数 \(\mu\)。（1）求无摩擦设计速度；（2）分别写出高速、低速临界时的径向与竖直方程；（3）说明摩擦方向为何随速度改变；（4）给出求允许速度区间的统一步骤。
变式答案
**1. 基础设问**
升力竖直分量为 \(mg\)，水平分量为 \(\frac34mg\)，所以 \(F=mg\sqrt{1+(\frac34)^2}=\frac54mg\)。
**2. 综合提升**
无摩擦时
\[N\cos\theta=mg,\qquad N\sin\theta=m\frac{v_0^2}{r},\]
故 \(v_0=\sqrt{rg\tan\theta}\)。考虑摩擦时取 \(f=\mu N\)，高速临界摩擦沿斜面向下，低速临界沿斜面向上，分别联立
\[N\sin\theta\pm f\cos\theta=m\frac{v^2}{r},\qquad N\cos\theta\mp f\sin\theta=mg.\]
两组解给出 \(v_{\max}\) 与 \(v_{\min}\)。
思路提示
**基础思路**
升力不是只等于重力，它的水平分量还要提供向心力。
**进阶思路**
先用无摩擦速度作为分界：高于它时物体趋向外上方滑，低于它时趋向内下方滑，因此静摩擦方向相反。
真题拓展
摩天轮座舱的速度、合力与机械能
高考真题 · 高度同构
2019年江苏卷 · 第6题
该真题与当前题同属“圆周运动受力分解”题族，核心约束、主方程和边界检查一致；差别主要在情境、数据或设问层级。
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