题目
粗糙水平圆盘上，甲、乙两个小物体叠放在一起，随圆盘以角速度 \(\omega\) 做匀速圆周运动，两物体到转轴距离为 \(r\)。乙的质量是甲的 \(2\) 倍，甲、乙间动摩擦因数为 \(\mu_1\)，盘与乙间动摩擦因数为 \(\mu_2\)，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且 \(\mu_1>\mu_2\)。重力加速度为 \(g\)。下列说法正确的是（ ）
选项
- A. 乙所需要的向心力是甲所需要的向心力的 \(3\) 倍
- B. 盘对乙的摩擦力是甲对乙的摩擦力的 \(2\) 倍
- C. 为保证甲、乙均不滑动，角速度最大值为 \(\sqrt{\frac{\mu_1g}{r}}\)
- D. 为保证甲、乙均不滑动，角速度最大值为 \(\sqrt{\frac{\mu_2g}{r}}\)
学习定位
圆周运动动力学
题族：水平圆周运动临界
训练能力：静摩擦临界判断、参数范围求解
前置知识：向心力、最大静摩擦力
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
整体解析
分步解析
1. 条件提取
设甲质量为 \(m\)，乙质量为 \(2m\)。
2. 建模
两者角速度和半径相同，所需向心力与质量成正比，乙所需向心力是甲的 \(2\) 倍，A 错。甲的向心力由乙对甲的摩擦提供，大小为 \(m\omega^2r\)。甲对乙的摩擦向外，盘对乙的摩擦需同时提供甲、乙整体的向心效果，大小为 \(3m\omega^2r\)，不是 \(2\) 倍，B 错。
3. 计算
甲不滑动要求 \(m\omega^2r\leq\mu_1mg\)，整体相对圆盘不滑动要求 \(3m\omega^2r\leq\mu_2(3m)g\)。
4. 结论
因 \(\mu_1>\mu_2\)，限制条件为 \(\omega\leq\sqrt{\frac{\mu_2g}{r}}\)，D 对。
初学者探索过程
从“水平圆周运动临界”开始探索
先把“B6：叠放物块转盘临界”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“B6：叠放物块转盘临界”后，判断为什么“把向心力当成物体额外受到的一种力”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“静摩擦临界判断、参数范围求解”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把向心力当成物体额外受到的一种力。
检查这个想法：先执行：先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[\omega\leq\sqrt{\frac{\mu_2g}{r}}\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“静摩擦临界判断”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“参数范围求解”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[\omega\leq\sqrt{\frac{\mu_2g}{r}}\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“静摩擦临界判断、参数范围求解”如何受条件变化控制。
现实同构案例
弯道、转盘与旋转设备：现实中的“水平圆周运动临界”
现实场景
车辆转弯、离心机、游乐设施和工业转盘都需要由接触力或约束力持续改变速度方向。
题目与现实如何对应
题目中的圆心、半径和转速对应设备的旋转轴、工作半径和运行转速；支持力、摩擦力或拉力对应现实中的结构载荷。 当前题目“B6：叠放物块转盘临界”训练的“静摩擦临界判断、参数范围求解”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[\omega\leq\sqrt{\frac{\mu_2g}{r}}\]
更一般的模型关系是：
\[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]
无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 现实接触面的摩擦系数会随材料和温度变化。
- 高速转动还要考虑振动、形变和安全系数。
带回原题想一想
把“B6：叠放物块转盘临界”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力”建立模型。可先使用：
\[\omega\leq\sqrt{\frac{\mu_2g}{r}}\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[\omega\leq\sqrt{\frac{\mu_2g}{r}}\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：上下叠块谁限制
**基础设问**
叠放物块随转盘转动，上下接触面摩擦因数为 \(\mu_1\)，下块与盘摩擦因数为 \(\mu_2\)，且 \(\mu_1>\mu_2\)。哪个接触面先达到临界？
**综合提升**
把角速度 \(\omega\) 视为连续可调参数。设某物体距轴 \(r\)，径向可用的最大静摩擦为 \(f_{\max}\)。（1）推导临界角速度；（2）若 \(r\) 变为 \(\lambda r\)，临界角速度怎样变化；（3）若多个物体质量不同但 \(f_{\max}=\mu mg\)，判断临界先后是否由质量决定；（4）说明超过临界后相对转盘的初始滑动趋势。
变式答案
**1. 基础设问**
上、下块一起不相对盘滑动的临界由下块与盘之间决定，\(\omega_{\max}=\sqrt{\frac{\mu_2g}{r}}\)。
**2. 综合提升**
临界条件为 \(m\omega_c^2r=f_{\max}\)，因此
\[\omega_c=\sqrt{\frac{f_{\max}}{mr}}.\]
半径乘 \(\lambda\) 后 \(\omega_c\) 乘 \(1/\sqrt\lambda\)。若 \(f_{\max}=\mu mg\)，质量约去，临界只由 \(\mu,g,r\) 决定。超过临界时实际向心力不足，物体相对转盘先向半径增大的方向滑动。
思路提示
**基础思路**
上下之间只负责上块，盘面要负责整体；但归一化后临界看对应摩擦因数。
**进阶思路**
把“谁先滑”转化为各物体的临界角速度排序；先算所需摩擦，再与上限比较。
真题拓展
摩天轮座舱的速度、合力与机械能
高考真题 · 高度同构
2019年江苏卷 · 第6题
该真题与当前题同属“圆周运动动力学”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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