题目
固定在竖直平面上的光滑半圆形管道内有一个直径略小于管道内径的小球。小球在管道内做圆周运动，从 \(B\) 点脱离后做平抛运动，经过 \(0.3\mathrm{s}\) 后恰好垂直与倾角为 \(45^\circ\) 的斜面相碰。已知管道半径 \(R=1\mathrm{m}\)，小球质量 \(m=1\mathrm{kg}\)，取 \(g=10\mathrm{m/s^2}\)。则（ ）
选项
- A. 相碰点 \(C\) 与 \(B\) 点的水平距离是 \(0.9\mathrm{m}\)
- B. 相碰点 \(C\) 与 \(B\) 点的水平距离是 \(1.9\mathrm{m}\)
- C. 小球经过 \(B\) 点时，受到管道的作用力大小是 \(1\mathrm{N}\)
- D. 小球经过 \(B\) 点时，受到管道的作用力大小是 \(2\mathrm{N}\)
学习定位
圆周运动动力学
题族：竖直圆周运动临界
训练能力：最高最低点受力、不断约束条件判断
前置知识：机械能守恒、向心力
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
整体解析
分步解析
1. 条件提取
小球离开 \(B\) 点后做平抛运动，碰斜面时速度与 \(45^\circ\) 斜面垂直，因此速度方向与水平夹角为 \(45^\circ\)，有 \(v_y=v_x\)。
2. 建模
又 \(v_y=gt=10\times0.3=3\mathrm{m/s}\)，故 \(v_x=3\mathrm{m/s}\)，水平距离 \(x=v_xt=0.9\mathrm{m}\)，A 对、B 错。
3. 结论
在 \(B\) 点由竖直圆周最高点关系 \(mg+N=m\frac{v^2}{R}\)，代入 \(m=1\mathrm{kg}\)、\(v=3\mathrm{m/s}\)、\(R=1\mathrm{m}\)，得 \(10+N=9\)，管道实际对球作用方向与假设相反，大小为 \(1\mathrm{N}\)，C 对、D 错。
初学者探索过程
从“竖直圆周运动临界”开始探索
先把“例6：半圆管道脱离平抛”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“例6：半圆管道脱离平抛”后，判断为什么“把向心力当成物体额外受到的一种力”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“最高最低点受力、不断约束条件判断”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把向心力当成物体额外受到的一种力。
检查这个想法：先执行：先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[10+N=9\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“最高最低点受力”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“不断约束条件判断”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[10+N=9\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“最高最低点受力、不断约束条件判断”如何受条件变化控制。
现实同构案例
弯道、转盘与旋转设备：现实中的“竖直圆周运动临界”
现实场景
车辆转弯、离心机、游乐设施和工业转盘都需要由接触力或约束力持续改变速度方向。
题目与现实如何对应
题目中的圆心、半径和转速对应设备的旋转轴、工作半径和运行转速；支持力、摩擦力或拉力对应现实中的结构载荷。 当前题目“例6：半圆管道脱离平抛”训练的“最高最低点受力、不断约束条件判断”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[10+N=9\]
更一般的模型关系是：
\[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]
无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 现实接触面的摩擦系数会随材料和温度变化。
- 高速转动还要考虑振动、形变和安全系数。
带回原题想一想
把“例6：半圆管道脱离平抛”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力”建立模型。可先使用：
\[10+N=9\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[10+N=9\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：平抛垂直撞斜面
**基础设问**
小球水平抛出，\(0.4\mathrm{s}\) 后垂直撞上倾角为 \(45^\circ\) 的斜面，取 \(g=10\mathrm{m/s^2}\)。求水平初速度。
**综合提升**
把原约束改为“只能拉、不能推”的轻绳，小球在竖直圆周内运动，半径为 \(r\)。（1）求恰能通过最高点的最小最高点速度；（2）若全过程只有重力做功，求对应的最小最低点速度；（3）求该临界状态最低点绳张力；（4）若半径改为 \(\lambda r\)，给出三者的缩放关系。
变式答案
**1. 基础设问**
垂直撞上 \(45^\circ\) 斜面时速度方向与水平夹角为 \(45^\circ\)，故 \(v_x=v_y=gt=4\mathrm{m/s}\)。
**2. 综合提升**
最高点临界张力为零：
\[mg=m\frac{v_t^2}{r}\Rightarrow v_{t,\min}=\sqrt{gr}.\]
由最低点到最高点上升 \(2r\)：\(v_b^2=v_t^2+4gr=5gr\)，故 \(v_{b,\min}=\sqrt{5gr}\)。最低点
\[T_b-mg=m\frac{v_b^2}{r}\Rightarrow T_b=6mg.\]
半径乘 \(\lambda\) 后两临界速度均乘 \(\sqrt\lambda\)，临界张力仍为 \(6mg\)。
思路提示
**基础思路**
用速度方向条件先求水平速度，再处理位移或圆周部分。
**进阶思路**
先用约束力为零确定最高点临界，再用能量把临界状态传到最低点；这比只比较某一位置多了一层全过程联系。
真题拓展
摩天轮座舱的速度、合力与机械能
高考真题 · 高度同构
2019年江苏卷 · 第6题
该真题与当前题同属“圆周运动动力学”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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