题目
水平转盘可绕竖直中心轴转动，盘上叠放着质量均为 \(1\mathrm{kg}\) 的 \(A,B\) 两个物块，\(B\) 用长为 \(0.25\mathrm{m}\) 的细线与固定在转盘中心处的力传感器相连。细线最大拉力为 \(8\mathrm{N}\)。\(A,B\) 间动摩擦因数 \(\mu_2=0.4\)，\(B\) 与转盘间动摩擦因数 \(\mu_1=0.1\)，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。转盘静止时细线刚好伸直，传感器读数为零。求传感器读数 \(F\) 与 \(\omega^2\) 的关系并作图，取 \(g=10\mathrm{m/s^2}\)。
学习定位
圆周运动动力学
题族：水平圆周运动临界
训练能力：静摩擦临界判断、参数范围求解
前置知识：向心力、最大静摩擦力
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
整体解析
分步解析
1. 条件提取
两物块不相对滑动时可视为整体，半径 \(r=0.25\mathrm{m}\)，总质量 \(2\mathrm{kg}\)。
2. 建模
转盘对 \(B\) 的最大静摩擦力为 \(\mu_1(2mg)=2\mathrm{N}\)，若 \(2\omega^2r\leq2\)，即 \(\omega^2\leq4\)，细线无拉力。继续增大角速度，\(F+2=2\omega^2r=0.5\omega^2\)，得 \(F=0.5\omega^2-2\)。\(A\) 不滑动要求 \(m\omega^2r\leq\mu_2mg=4\)，即 \(\omega^2\leq16\)。
3. 计算
超过后 \(A\) 相对 \(B\) 滑动，\(A\) 对 \(B\) 的摩擦向外为 \(4\mathrm{N}\)，转盘对 \(B\) 的摩擦向内为 \(2\mathrm{N}\)，对 \(B\) 列式 \(F+2-4=m\omega^2r=0.25\omega^2\)，得 \(F=0.25\omega^2+2\)。
4. 结论
令 \(F=8\) 得 \(\omega^2=24\)。
初学者探索过程
从“水平圆周运动临界”开始探索
先把“例10：转盘叠块传感器图像”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“例10：转盘叠块传感器图像”后，判断为什么“把向心力当成物体额外受到的一种力”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“静摩擦临界判断、参数范围求解”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把向心力当成物体额外受到的一种力。
检查这个想法：先执行：先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“静摩擦临界判断”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“参数范围求解”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“静摩擦临界判断、参数范围求解”如何受条件变化控制。
现实同构案例
弯道、转盘与旋转设备：现实中的“水平圆周运动临界”
现实场景
车辆转弯、离心机、游乐设施和工业转盘都需要由接触力或约束力持续改变速度方向。
题目与现实如何对应
题目中的圆心、半径和转速对应设备的旋转轴、工作半径和运行转速；支持力、摩擦力或拉力对应现实中的结构载荷。 当前题目“例10：转盘叠块传感器图像”训练的“静摩擦临界判断、参数范围求解”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]
更一般的模型关系是：
\[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]
无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 现实接触面的摩擦系数会随材料和温度变化。
- 高速转动还要考虑振动、形变和安全系数。
带回原题想一想
把“例10：转盘叠块传感器图像”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力”建立模型。可先使用：
\[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：细线开始有拉力
**基础设问**
两个质量均为 \(m\) 的物块叠放在转盘上，下方物块与转盘间最大静摩擦为 \(2\mathrm{N}\)，整体半径为 \(0.5\mathrm{m}\)，总质量 \(2\mathrm{kg}\)。细线连向圆心，求细线刚开始有拉力时的 \(\omega^2\)。
**综合提升**
把原图像中的平台或直线段推广为参数模型。设小球速度大小保持 \(v\)，碰钉或切换约束后半径由 \(r\) 变为 \(\lambda r\)。（1）求向心力突变比；（2）求周期突变比；（3）说明怎样由图像的平台高度与持续时间分别反求半径比；（4）判断图像突变时速度是否必然突变。
变式答案
**1. 基础设问**
细线刚有拉力前，摩擦提供整体向心力：\(2\omega^2r=2\)。代入 \(r=0.5\mathrm{m}\)，得 \(\omega^2=2\mathrm{s^{-2}}\)。
**2. 综合提升**
速度不变时
\[F_c=\frac{mv^2}{r},\qquad T=\frac{2\pi r}{v}.\]
所以 \(F_2/F_1=1/\lambda\)，\(T_2/T_1=\lambda\)。平台高度的反比或持续时间的正比都可反求 \(\lambda\)。约束力可瞬时突变，但若冲量沿径向且不做瞬时功，速度大小不必突变。
思路提示
**基础思路**
先把未相对滑动的叠块看成整体，比较所需向心力和最大静摩擦。
**进阶思路**
把图像高度解释为力、宽度解释为时间，再用同一不变量连接切换前后，而不是只读坐标。
真题拓展
摩天轮座舱的速度、合力与机械能
高考真题 · 高度同构
2019年江苏卷 · 第6题
该真题与当前题同属“圆周运动动力学”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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