题目
一个竖直放置的圆锥筒可以绕中轴 \(OO'\) 转动，筒内壁粗糙，筒口半径为 \(R\)，筒高为 \(H\)，且 \(H=\frac{3R}{4}\)。筒内壁 \(A\) 点处有一质量为 \(m\) 的小物块，\(A\) 点到 \(OO'\) 轴的距离为 \(\frac{R}{2}\)。求：（1）筒不转动时物块在 \(A\) 点受到的摩擦力和支持力；（2）物块在 \(A\) 点随筒匀速转动且摩擦力为零时，筒的角速度；（3）若最大静摩擦因数 \(\mu_0=0.5\)，物块相对锥筒保持静止时筒的最大角速度。
学习定位
圆周运动动力学
题族：水平圆周运动临界
训练能力：静摩擦临界判断、参数范围求解
前置知识：向心力、最大静摩擦力
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参考答案
整体解析
分步解析
1. 条件提取
圆锥母线与竖直方向夹角记为 \(\theta\)，由 \(\tan\theta=\frac{R}{H}=\frac{4}{3}\)，得 \(\sin\theta=\frac45\)，\(\cos\theta=\frac35\)。
2. 建模
筒不转动时，重力沿筒壁方向的分量由静摩擦平衡，故 \(f=mg\cos\theta=\frac35mg\)，支持力 \(N=mg\sin\theta=\frac45mg\)。摩擦力为零且半径 \(r=\frac R2\) 时，支持力的竖直分量平衡重力，水平分量提供向心力，得 \(\omega^2=\frac{g\cot\theta}{r}=\frac{3g}{2R}\)。
3. 结论
最大角速度时静摩擦取最大值，按径向和竖直方向列平衡与向心方程即可求临界。
初学者探索过程
从“水平圆周运动临界”开始探索
先把“例2：粗糙圆锥筒中物块”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“例2：粗糙圆锥筒中物块”后，判断为什么“把向心力当成物体额外受到的一种力”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“静摩擦临界判断、参数范围求解”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把向心力当成物体额外受到的一种力。
检查这个想法：先执行：先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“静摩擦临界判断”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“参数范围求解”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“静摩擦临界判断、参数范围求解”如何受条件变化控制。
现实同构案例
弯道、转盘与旋转设备：现实中的“水平圆周运动临界”
现实场景
车辆转弯、离心机、游乐设施和工业转盘都需要由接触力或约束力持续改变速度方向。
题目与现实如何对应
题目中的圆心、半径和转速对应设备的旋转轴、工作半径和运行转速；支持力、摩擦力或拉力对应现实中的结构载荷。 当前题目“例2：粗糙圆锥筒中物块”训练的“静摩擦临界判断、参数范围求解”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]
更一般的模型关系是：
\[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]
无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 现实接触面的摩擦系数会随材料和温度变化。
- 高速转动还要考虑振动、形变和安全系数。
带回原题想一想
把“例2：粗糙圆锥筒中物块”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力”建立模型。可先使用：
\[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：圆锥面上无摩擦转动
**基础设问**
物块在半径为 \(r\) 的圆锥面上随筒转动，圆锥母线与竖直方向夹角为 \(\theta\)，若摩擦力为零，求角速度 \(\omega\)。
**综合提升**
把原约束改为“只能拉、不能推”的轻绳，小球在竖直圆周内运动，半径为 \(r\)。（1）求恰能通过最高点的最小最高点速度；（2）若全过程只有重力做功，求对应的最小最低点速度；（3）求该临界状态最低点绳张力；（4）若半径改为 \(\lambda r\)，给出三者的缩放关系。
变式答案
**1. 基础设问**
由支持力分解得 \(N\sin\theta=mg\)，\(N\cos\theta=m\omega^2r\)，所以 \(\omega=\sqrt{\frac{g\cot\theta}{r}}\)。
**2. 综合提升**
最高点临界张力为零：
\[mg=m\frac{v_t^2}{r}\Rightarrow v_{t,\min}=\sqrt{gr}.\]
由最低点到最高点上升 \(2r\)：\(v_b^2=v_t^2+4gr=5gr\)，故 \(v_{b,\min}=\sqrt{5gr}\)。最低点
\[T_b-mg=m\frac{v_b^2}{r}\Rightarrow T_b=6mg.\]
半径乘 \(\lambda\) 后两临界速度均乘 \(\sqrt\lambda\)，临界张力仍为 \(6mg\)。
思路提示
**基础思路**
无摩擦时只有重力和支持力，支持力一个分量平衡重力，另一个分量提供向心力。
**进阶思路**
先用约束力为零确定最高点临界，再用能量把临界状态传到最低点；这比只比较某一位置多了一层全过程联系。
真题拓展
摩天轮座舱的速度、合力与机械能
高考真题 · 高度同构
2019年江苏卷 · 第6题
该真题与当前题同属“圆周运动动力学”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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