题目
半径为 \(R\) 的匀质实心圆盘，盘面与水平面的夹角为 \(\theta\)，开始时圆盘静止。其上表面均匀覆盖一层细沙且没有掉落，细沙与盘面间动摩擦因数为 \(\mu\)，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现让圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴旋转，角速度从 \(0\) 缓慢增加到 \(\omega\)。此时圆盘表面上的细沙有 \(\frac89\) 被甩掉，重力加速度为 \(g\)。则 \(\omega\) 的值为（ ）
选项
- A. \(\sqrt{\frac{g(\mu\cos\theta+\sin\theta)}{R}}\)
- B. \(\sqrt{\frac{g(\mu\cos\theta-\sin\theta)}{R}}\)
- C. \(\sqrt{\frac{3g(\mu\cos\theta+\sin\theta)}{R}}\)
- D. \(\sqrt{\frac{3g(\mu\cos\theta-\sin\theta)}{R}}\)
学习定位
圆周运动动力学
题族：水平圆周运动临界
训练能力：静摩擦临界判断、参数范围求解
前置知识：向心力、最大静摩擦力
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参考答案
整体解析
分步解析
1. 条件提取
细沙均匀分布，若有 \(\frac89\) 被甩掉，则剩余面积为原来的 \(\frac19\)，剩余圆形区域半径为 \(r=\frac R3\)。
2. 建模
最容易脱落的位置在圆盘下坡方向，沿盘面向外的惯性趋势与重力沿盘面分量同向，临界时有 \(m\omega^2r+mg\sin\theta=\mu mg\cos\theta\)。
3. 结论
代入 \(r=\frac R3\)，得 \(\omega^2=\frac{3g(\mu\cos\theta-\sin\theta)}{R}\)，所以 \(\omega=\sqrt{\frac{3g(\mu\cos\theta-\sin\theta)}{R}}\)，选 D。
初学者探索过程
从“水平圆周运动临界”开始探索
先把“B8：倾斜圆盘细沙脱落”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“B8：倾斜圆盘细沙脱落”后，判断为什么“把向心力当成物体额外受到的一种力”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“静摩擦临界判断、参数范围求解”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把向心力当成物体额外受到的一种力。
检查这个想法：先执行：先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[\omega=\sqrt{\frac{3g(\mu\cos\theta-\sin\theta)}{R}}\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“静摩擦临界判断”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“参数范围求解”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[\omega=\sqrt{\frac{3g(\mu\cos\theta-\sin\theta)}{R}}\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“静摩擦临界判断、参数范围求解”如何受条件变化控制。
现实同构案例
弯道、转盘与旋转设备：现实中的“水平圆周运动临界”
现实场景
车辆转弯、离心机、游乐设施和工业转盘都需要由接触力或约束力持续改变速度方向。
题目与现实如何对应
题目中的圆心、半径和转速对应设备的旋转轴、工作半径和运行转速；支持力、摩擦力或拉力对应现实中的结构载荷。 当前题目“B8：倾斜圆盘细沙脱落”训练的“静摩擦临界判断、参数范围求解”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[\omega=\sqrt{\frac{3g(\mu\cos\theta-\sin\theta)}{R}}\]
更一般的模型关系是：
\[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]
无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 现实接触面的摩擦系数会随材料和温度变化。
- 高速转动还要考虑振动、形变和安全系数。
带回原题想一想
把“B8：倾斜圆盘细沙脱落”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力”建立模型。可先使用：
\[\omega=\sqrt{\frac{3g(\mu\cos\theta-\sin\theta)}{R}}\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[\omega=\sqrt{\frac{3g(\mu\cos\theta-\sin\theta)}{R}}\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：由剩余面积求半径
**基础设问**
半径为 \(R\) 的圆盘上细沙均匀分布，旋转后只剩原来面积的 \(\frac14\)。剩余区域半径是多少？
**综合提升**
半径为 \(r\)、倾角为 \(\theta\) 的弯道先按无摩擦设计，再考虑静摩擦因数 \(\mu\)。（1）求无摩擦设计速度；（2）分别写出高速、低速临界时的径向与竖直方程；（3）说明摩擦方向为何随速度改变；（4）给出求允许速度区间的统一步骤。
变式答案
**1. 基础设问**
面积比等于半径平方比，\(\frac{r^2}{R^2}=\frac14\)，所以 \(r=\frac R2\)。
**2. 综合提升**
无摩擦时
\[N\cos\theta=mg,\qquad N\sin\theta=m\frac{v_0^2}{r},\]
故 \(v_0=\sqrt{rg\tan\theta}\)。考虑摩擦时取 \(f=\mu N\)，高速临界摩擦沿斜面向下，低速临界沿斜面向上，分别联立
\[N\sin\theta\pm f\cos\theta=m\frac{v^2}{r},\qquad N\cos\theta\mp f\sin\theta=mg.\]
两组解给出 \(v_{\max}\) 与 \(v_{\min}\)。
思路提示
**基础思路**
面积比例题先把面积转成半径，再代入摩擦临界方程。
**进阶思路**
先用无摩擦速度作为分界：高于它时物体趋向外上方滑，低于它时趋向内下方滑，因此静摩擦方向相反。
真题拓展
摩天轮座舱的速度、合力与机械能
高考真题 · 高度同构
2019年江苏卷 · 第6题
该真题与当前题同属“圆周运动动力学”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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