题目
用轻质绳拴着质量为 \(m\) 的小球，在竖直平面内做圆周运动，不计一切阻力。小球运动到最高点时绳对小球的拉力为 \(T\)，最高点速度大小为 \(v\)，其 \(T-v^2\) 图像如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
选项
- A. 轻质绳长为 \(\frac{mb}{a}\)
- B. 当地的重力加速度为 \(\frac{a}{m}\)
- C. 当 \(v^2=c\) 时，最高点拉力大小为 \(\frac{ac}{b}-a\)
- D. 若小球在最低点时的速率 \(v_1^2=b\)，小球运动到最低点时绳的拉力为 \(mg\)
学习定位
圆周运动动力学
题族：竖直圆周运动临界
训练能力：最高最低点受力、不断约束条件判断
前置知识：机械能守恒、向心力
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
整体解析
分步解析
1. 条件提取
最高点沿向心方向列式：\(T+mg=m\frac{v^2}{L}\)，即 \(T=\frac{m}{L}v^2-mg\)。
2. 建模
图像纵截距为 \(-a\)，所以 \(mg=a\)，得 \(g=\frac{a}{m}\)，B 正确。图像在 \(v^2=b\) 处 \(T=0\)，故 \(mg=m\frac{b}{L}\)，得 \(L=\frac{b}{g}=\frac{mb}{a}\)，A 正确。当 \(v^2=c\) 时，\(T=\frac{m}{L}c-mg=\frac{ac}{b}-a\)，C 正确。
3. 计算
若最低点 \(v_1^2=b\)，则 \(T_{低}-mg=m\frac{b}{L}=mg\)，所以 \(T_{低}=2mg\)，D 错。
4. 结论
本题问“不正确”，选 D。
初学者探索过程
从“竖直圆周运动临界”开始探索
先把“A5：最高点绳拉力图像”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“A5：最高点绳拉力图像”后，判断为什么“把向心力当成物体额外受到的一种力”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“最高最低点受力、不断约束条件判断”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把向心力当成物体额外受到的一种力。
检查这个想法：先执行：先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[v^2=b\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“最高最低点受力”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“不断约束条件判断”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[v^2=b\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“最高最低点受力、不断约束条件判断”如何受条件变化控制。
现实同构案例
弯道、转盘与旋转设备：现实中的“竖直圆周运动临界”
现实场景
车辆转弯、离心机、游乐设施和工业转盘都需要由接触力或约束力持续改变速度方向。
题目与现实如何对应
题目中的圆心、半径和转速对应设备的旋转轴、工作半径和运行转速；支持力、摩擦力或拉力对应现实中的结构载荷。 当前题目“A5：最高点绳拉力图像”训练的“最高最低点受力、不断约束条件判断”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[v^2=b\]
更一般的模型关系是：
\[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]
无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 现实接触面的摩擦系数会随材料和温度变化。
- 高速转动还要考虑振动、形变和安全系数。
带回原题想一想
把“A5：最高点绳拉力图像”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力”建立模型。可先使用：
\[v^2=b\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[v^2=b\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：由 \(T-v^2\) 图像求绳长
**基础设问**
最高点 \(T-v^2\) 图像在 \(v^2=20\) 处与横轴相交，取 \(g=10\mathrm{m/s^2}\)。求绳长。
**综合提升**
把原图像中的平台或直线段推广为参数模型。设小球速度大小保持 \(v\)，碰钉或切换约束后半径由 \(r\) 变为 \(\lambda r\)。（1）求向心力突变比；（2）求周期突变比；（3）说明怎样由图像的平台高度与持续时间分别反求半径比；（4）判断图像突变时速度是否必然突变。
变式答案
**1. 基础设问**
横轴交点表示 \(T=0\)，由 \(mg=m\frac{v^2}{L}\)，得 \(L=\frac{v^2}{g}=2\mathrm{m}\)。
**2. 综合提升**
速度不变时
\[F_c=\frac{mv^2}{r},\qquad T=\frac{2\pi r}{v}.\]
所以 \(F_2/F_1=1/\lambda\)，\(T_2/T_1=\lambda\)。平台高度的反比或持续时间的正比都可反求 \(\lambda\)。约束力可瞬时突变，但若冲量沿径向且不做瞬时功，速度大小不必突变。
思路提示
**基础思路**
最高点横轴交点就是临界速度平方 \(v^2=gL\)。
**进阶思路**
把图像高度解释为力、宽度解释为时间，再用同一不变量连接切换前后，而不是只读坐标。
真题拓展
摩天轮座舱的速度、合力与机械能
高考真题 · 高度同构
2019年江苏卷 · 第6题
该真题与当前题同属“圆周运动动力学”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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