题目
运动员用一只手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆周运动。运动到最高点时，用力传感器测得运动员与单杠间弹力大小为 \(F\)，用速度传感器记录最高点速度大小为 \(v\)，得到 \(F-v^2\) 图像。取 \(g=10\mathrm{m/s^2}\)，下列说法正确的是（ ）
选项
- A. 运动员的质量为 \(65\mathrm{kg}\)
- B. 运动员的重心到单杠的距离为 \(0.9\mathrm{m}\)
- C. 当最高点速度为 \(4\mathrm{m/s}\) 时，单杠弹力方向向上
- D. 当最高点速度为 \(4\mathrm{m/s}\) 时，单杠弹力方向向下
学习定位
圆周运动动力学
题族：竖直圆周运动临界
训练能力：最高最低点受力、不断约束条件判断
前置知识：机械能守恒、向心力
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参考答案
整体解析
分步解析
1. 条件提取
最高点沿指向圆心的向下方向列式。
2. 建模
若单杠弹力向下，则 \(mg+F=m\frac{v^2}{r}\)；若速度较小时，单杠弹力向上，则弹力大小图像可看作 \(F=\left|m\frac{v^2}{r}-mg\right|\)。由图像纵截距 \(650\mathrm{N}\) 得 \(mg=650\mathrm{N}\)，所以 \(m=65\mathrm{kg}\)，A 对。
3. 计算
图像在 \(v^2=9\) 处弹力为零，对应 \(mg=m\frac{v^2}{r}\)，得 \(r=\frac{9}{10}=0.9\mathrm{m}\)，B 对。
4. 结论
当 \(v=4\mathrm{m/s}\) 时，\(v^2=16>gr=9\)，需要额外向下的弹力提供向心力，故弹力方向向下，D 对、C 错。
初学者探索过程
从“竖直圆周运动临界”开始探索
先把“例7：单杠最高点弹力图像”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“例7：单杠最高点弹力图像”后，判断为什么“把向心力当成物体额外受到的一种力”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“最高最低点受力、不断约束条件判断”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把向心力当成物体额外受到的一种力。
检查这个想法：先执行：先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[r=\frac{9}{10}\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“最高最低点受力”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“不断约束条件判断”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[r=\frac{9}{10}\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“最高最低点受力、不断约束条件判断”如何受条件变化控制。
现实同构案例
弯道、转盘与旋转设备：现实中的“竖直圆周运动临界”
现实场景
车辆转弯、离心机、游乐设施和工业转盘都需要由接触力或约束力持续改变速度方向。
题目与现实如何对应
题目中的圆心、半径和转速对应设备的旋转轴、工作半径和运行转速；支持力、摩擦力或拉力对应现实中的结构载荷。 当前题目“例7：单杠最高点弹力图像”训练的“最高最低点受力、不断约束条件判断”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[r=\frac{9}{10}\]
更一般的模型关系是：
\[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]
无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 现实接触面的摩擦系数会随材料和温度变化。
- 高速转动还要考虑振动、形变和安全系数。
带回原题想一想
把“例7：单杠最高点弹力图像”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力”建立模型。可先使用：
\[r=\frac{9}{10}\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[r=\frac{9}{10}\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：最高点弹力零点
**基础设问**
某人在最高点绕单杠运动，\(F-v^2\) 图像在 \(v^2=12\) 处弹力为零，取 \(g=10\mathrm{m/s^2}\)。求重心到单杠距离。
**综合提升**
把原图像中的平台或直线段推广为参数模型。设小球速度大小保持 \(v\)，碰钉或切换约束后半径由 \(r\) 变为 \(\lambda r\)。（1）求向心力突变比；（2）求周期突变比；（3）说明怎样由图像的平台高度与持续时间分别反求半径比；（4）判断图像突变时速度是否必然突变。
变式答案
**1. 基础设问**
弹力为零时 \(mg=m\frac{v^2}{r}\)，所以 \(r=\frac{v^2}{g}=\frac{12}{10}=1.2\mathrm{m}\)。
**2. 综合提升**
速度不变时
\[F_c=\frac{mv^2}{r},\qquad T=\frac{2\pi r}{v}.\]
所以 \(F_2/F_1=1/\lambda\)，\(T_2/T_1=\lambda\)。平台高度的反比或持续时间的正比都可反求 \(\lambda\)。约束力可瞬时突变，但若冲量沿径向且不做瞬时功，速度大小不必突变。
思路提示
**基础思路**
最高点零弹力就是重力单独提供向心力。
**进阶思路**
把图像高度解释为力、宽度解释为时间，再用同一不变量连接切换前后，而不是只读坐标。
真题拓展
摩天轮座舱的速度、合力与机械能
高考真题 · 高度同构
2019年江苏卷 · 第6题
该真题与当前题同属“圆周运动动力学”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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