题目
轻杆长 \(3L\)，在杆两端分别固定质量均为 \(m\) 的球 \(A\) 和 \(B\)。光滑水平转轴穿过杆上距球 \(A\) 为 \(L\) 处的 \(O\) 点。外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动。球 \(B\) 运动到最高点时，杆对球 \(B\) 恰好无作用力。忽略空气阻力，则球 \(B\) 在最高点时（ ）
选项
- A. 球 \(B\) 的速度为零
- B. 球 \(A\) 的速度大小为 \(\sqrt{2gL}\)
- C. 水平转轴对杆的作用力为 \(1.5mg\)
- D. 水平转轴对杆的作用力为 \(2.5mg\)
学习定位
圆周运动动力学
题族：竖直圆周运动临界
训练能力：最高最低点受力、不断约束条件判断
前置知识：机械能守恒、向心力
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
整体解析
分步解析
1. 条件提取
球 \(B\) 到转轴距离为 \(2L\)。
2. 建模
在最高点杆对 \(B\) 无作用力，重力单独提供向心力：\(mg=m\frac{v_B^2}{2L}\)，所以 \(v_B=\sqrt{2gL}\)，A 错。两球同角速度，球 \(A\) 到转轴距离为 \(L\)，故 \(v_A=\frac{L}{2L}v_B=\frac12\sqrt{2gL}\)，B 错。
3. 计算
球 \(A\) 位于最低点时，向心方向向上，杆对 \(A\) 的力满足 \(F_A-mg=m\frac{v_A^2}{L}=\frac12mg\)，所以 \(F_A=1.5mg\)。
4. 结论
杆受 \(A\) 向下的反作用力，转轴需向上提供 \(1.5mg\)，C 对、D 错。
初学者探索过程
从“竖直圆周运动临界”开始探索
先把“例8：轻杆双球最高点”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“例8：轻杆双球最高点”后，判断为什么“把向心力当成物体额外受到的一种力”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“最高最低点受力、不断约束条件判断”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把向心力当成物体额外受到的一种力。
检查这个想法：先执行：先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[F_A-mg=m\frac{v_A^2}{L}=\frac12mg\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“最高最低点受力”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“不断约束条件判断”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[F_A-mg=m\frac{v_A^2}{L}=\frac12mg\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“最高最低点受力、不断约束条件判断”如何受条件变化控制。
现实同构案例
弯道、转盘与旋转设备：现实中的“竖直圆周运动临界”
现实场景
车辆转弯、离心机、游乐设施和工业转盘都需要由接触力或约束力持续改变速度方向。
题目与现实如何对应
题目中的圆心、半径和转速对应设备的旋转轴、工作半径和运行转速；支持力、摩擦力或拉力对应现实中的结构载荷。 当前题目“例8：轻杆双球最高点”训练的“最高最低点受力、不断约束条件判断”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[F_A-mg=m\frac{v_A^2}{L}=\frac12mg\]
更一般的模型关系是：
\[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]
无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 现实接触面的摩擦系数会随材料和温度变化。
- 高速转动还要考虑振动、形变和安全系数。
带回原题想一想
把“例8：轻杆双球最高点”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力”建立模型。可先使用：
\[F_A-mg=m\frac{v_A^2}{L}=\frac12mg\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[F_A-mg=m\frac{v_A^2}{L}=\frac12mg\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：同杆两点速度比
**基础设问**
一根轻杆绕固定点转动，甲、乙两点到轴距离分别为 \(L\) 和 \(2L\)。若乙点速度为 \(4\mathrm{m/s}\)，求甲点速度。
**综合提升**
把原约束改为“只能拉、不能推”的轻绳，小球在竖直圆周内运动，半径为 \(r\)。（1）求恰能通过最高点的最小最高点速度；（2）若全过程只有重力做功，求对应的最小最低点速度；（3）求该临界状态最低点绳张力；（4）若半径改为 \(\lambda r\)，给出三者的缩放关系。
变式答案
**1. 基础设问**
同一刚体转动时角速度相同，\(v=\omega r\)，所以 \(v_甲:v_乙=1:2\)，得 \(v_甲=2\mathrm{m/s}\)。
**2. 综合提升**
最高点临界张力为零：
\[mg=m\frac{v_t^2}{r}\Rightarrow v_{t,\min}=\sqrt{gr}.\]
由最低点到最高点上升 \(2r\)：\(v_b^2=v_t^2+4gr=5gr\)，故 \(v_{b,\min}=\sqrt{5gr}\)。最低点
\[T_b-mg=m\frac{v_b^2}{r}\Rightarrow T_b=6mg.\]
半径乘 \(\lambda\) 后两临界速度均乘 \(\sqrt\lambda\)，临界张力仍为 \(6mg\)。
思路提示
**基础思路**
杆上各点同角速度，线速度正比于半径。
**进阶思路**
先用约束力为零确定最高点临界，再用能量把临界状态传到最低点；这比只比较某一位置多了一层全过程联系。
真题拓展
摩天轮座舱的速度、合力与机械能
高考真题 · 高度同构
2019年江苏卷 · 第6题
该真题与当前题同属“圆周运动动力学”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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