题目
起重机以 \(1\,\mathrm{m/s^2}\) 的加速度将重为 \(1.0\times10^4\,\mathrm N\) 的货物由静止加速向上提升。取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)，则在第 \(1\,\mathrm s\) 内起重机对货物做的功是（ ）。
选项
- A. \(500\,\mathrm J\)
- B. \(5000\,\mathrm J\)
- C. \(4500\,\mathrm J\)
- D. \(5500\,\mathrm J\)
学习定位
功率、动能与功能关系
题族：恒力做功与过程判断
训练能力：功的正负判断、力位移夹角处理
前置知识：功的定义、牛顿第二定律
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 求质量与拉力
货物质量为 \(m=G/g=1000\,\mathrm{kg}\)。由 \(T-mg=ma\)，得 \(T=m(g+a)=1.1\times10^4\,\mathrm N\)。
易错点
- 把起重机拉力直接当成货物重力
2. 求第 1 秒位移
货物由静止开始做匀加速运动，\(h=\frac12at^2=\frac12\times1\times1^2=0.5\,\mathrm m\)。
3. 计算起重机做功
拉力与位移同向，故 \(W=Th=1.1\times10^4\times0.5=5.5\times10^3\,\mathrm J\)。答案为 D。
初学者探索过程
从“恒力做功与过程判断”开始探索
先把“例1：起重机加速提升货物”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“例1：起重机加速提升货物”后，判断为什么“把起重机拉力直接当成货物重力”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“功的正负判断、力位移夹角处理”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把起重机拉力直接当成货物重力。
检查这个想法：先执行：先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[W=Th\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“功的正负判断”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“力位移夹角处理”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[W=Th\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“功的正负判断、力位移夹角处理”如何受条件变化控制。
现实同构案例
车辆动力、制动与能耗：现实中的“恒力做功与过程判断”
现实场景
车辆加速、制动、起重和工业驱动都需要把功率输入与速度变化、阻力损耗和工作时间联系起来。
题目与现实如何对应
题目中的力、位移、速度和功率对应现实设备的驱动力、行程、运行状态和能源输出。 当前题目“例1：起重机加速提升货物”训练的“功的正负判断、力位移夹角处理”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[W=Th\]
更一般的模型关系是：
\[\sum W=\Delta E_k\]
合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实驱动系统存在效率损失。
- 阻力和输出功率通常随速度变化。
带回原题想一想
把“例1：起重机加速提升货物”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负”建立模型。可先使用：
\[W=Th\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[W=Th\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：电梯加速提升
**基础设问**
质量为 \(800\,\mathrm{kg}\) 的货物由静止以 \(a=1.5\,\mathrm{m/s^2}\) 竖直向上加速 \(2\,\mathrm s\)，取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)。求拉力对货物做的功。
**综合提升**
把原题中的恒力推广为方向或大小随路径参数 \(s\) 变化的力 \(\vec F(s)\)。（1）写出总功的积分表达式；（2）给出瞬时功率；（3）说明同一始末位置沿不同路径做功何时相同；（4）设计一个由 \(P-t\) 图像反求总功的方法。
变式答案
**1. 基础设问**
\(T=m(g+a)=9200\,\mathrm N\)，\(h=\frac12at^2=3\,\mathrm m\)，所以 \(W=Th=2.76\times10^4\,\mathrm J\)。
**2. 综合提升**
总功和瞬时功率分别为
\[W=\int_{s_1}^{s_2}\vec F(s)\cdot d\vec s,\qquad P=\vec F\cdot\vec v=\frac{dW}{dt}.\]
只有保守力的功才只由始末位置决定；一般外力功与路径有关。\(P-t\) 图像的有符号面积 \(\int Pdt\) 就是总功。
思路提示
**基础思路**
先用牛顿第二定律求实际拉力，再用匀加速位移公式求位移，最后代入 \(W=Fs\)。
**进阶思路**
从定力公式升级到线积分与功率积分，可统一处理变大小、变方向和分段做功。
真题拓展
高速列车通过隧道的最短时间
高考真题 · 同一考点
2022年全国甲卷 · 物理部分第2题
该真题与当前题同属“功率、动能与功能关系”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
查看题目资料