题目
地上有连续排列的 8 个等大格子。石块从第 1 个格子的前端踢出，沿直线滑动并恰好停在第 8 个格子的后端，总滑行时间为 \(t_0\)。石块不转动、不滚动，且与地面的动摩擦因数处处相同。下列说法正确的是（ ）。
选项
- A. 石块到达第 6 个格子后端的速度，是到达第 1 个格子前端速度的一半
- B. 石块通过第 1 个格子的时间为 \(\frac14t_0\)
- C. 石块通过前 2 个格子的时间为 \((2-\sqrt3)t_0\)
- D. 石块通过第 1 个格子与第 8 个格子的平均速度之比为 \((3-\sqrt8):1\)
学习定位
直线运动与追及
题族：匀变速运动与图像
训练能力：运动图像转换、制动过程建模
前置知识：匀变速公式、平均速度
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 建立总过程
设每格长度为 \(l\)，减速度大小为 \(a\)。末速度为零，所以 \(v_0=at_0\)，且 \(8l=\frac12at_0^2\)。
2. 写出分界速度
到达第 \(k\) 格后端时，剩余距离为 \((8-k)l\)。由 \(v_k^2=2a(8-k)l\)，得 \(v_k=v_0\sqrt{(8-k)/8}\)。
3. 写出分段时间
到达第 \(k\) 格后端的时刻为 \(t_k=t_0\bigl(1-\sqrt{1-k/8}\bigr)\)。
4. 逐项比较
代入 \(k=6\) 得 \(v_6=v_0/2\)。其余时间与平均速度关系均不符合上述通式，故选 A。
初学者探索过程
从“匀变速运动与图像”开始探索
先把“单选第2题：八格匀减速滑行”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“单选第2题：八格匀减速滑行”后，判断为什么“跨越加速度变化的阶段仍使用同一个匀变速公式”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“运动图像转换、制动过程建模”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：跨越加速度变化的阶段仍使用同一个匀变速公式。
检查这个想法：先执行：先统一正方向、初始时刻和各阶段边界，再写分段运动方程。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[v_k=v_0\sqrt{\frac{8-k}{8}},\qquad t_k=t_0\left(1-\sqrt{1-\frac{k}{8}}\right)\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先统一正方向、初始时刻和各阶段边界，再写分段运动方程”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“运动图像转换”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“每个匀变速阶段都由该阶段的初始状态和加速度唯一确定，并在边界处保持位置连续”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“制动过程建模”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[v_k=v_0\sqrt{\frac{8-k}{8}},\qquad t_k=t_0\left(1-\sqrt{1-\frac{k}{8}}\right)\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：每个匀变速阶段都由该阶段的初始状态和加速度唯一确定，并在边界处保持位置连续。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“运动图像转换、制动过程建模”如何受条件变化控制。
现实同构案例
车辆制动与追及预警：现实中的“匀变速运动与图像”
现实场景
汽车防碰系统利用相对距离、速度和制动加速度预测最小间距，并在达到危险边界前报警。
题目与现实如何对应
题目中的运动物体对应车辆，相遇或停止条件对应现实中的碰撞边界和停车位置。 当前题目“单选第2题：八格匀减速滑行”训练的“运动图像转换、制动过程建模”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[v_k=v_0\sqrt{\frac{8-k}{8}},\qquad t_k=t_0\left(1-\sqrt{1-\frac{k}{8}}\right)\]
更一般的模型关系是：
\[v=v_0+at,\qquad x=v_0t+\frac12at^2\]
每个匀变速阶段都由该阶段的初始状态和加速度唯一确定，并在边界处保持位置连续，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 驾驶员反应时间会增加制动距离。
- 路面附着条件会改变可实现的减速度。
带回原题想一想
把“单选第2题：八格匀减速滑行”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先统一正方向、初始时刻和各阶段边界，再写分段运动方程”建立模型。可先使用：
\[v_k=v_0\sqrt{\frac{8-k}{8}},\qquad t_k=t_0\left(1-\sqrt{1-\frac{k}{8}}\right)\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[v_k=v_0\sqrt{\frac{8-k}{8}},\qquad t_k=t_0\left(1-\sqrt{1-\frac{k}{8}}\right)\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：N 等分匀减速的通式
物块以初速度 \(v_0\) 滑入长度为 \(L\) 的粗糙水平面并恰在末端停止。把 \(L\) 等分为 \(N\) 段。求通过第 \(k\) 段起点时的速度、通过前 \(k\) 段的时间，以及第 1 段和第 \(N\) 段平均速度之比。
变式答案
**分界速度**
第 \(k\) 段起点前已走 \((k-1)L/N\)，故 \(v_{k-1}=v_0\sqrt{(N-k+1)/N}\)。
**累计时间**
\(t_k=t_0\left(1-\sqrt{1-k/N}\right)\)。
**平均速度比**
\(\bar v_1/\bar v_N=(v_0+v_1)/v_{N-1}=\sqrt N+\sqrt{N-1}\)。
思路提示
**解题思路**
不要逐段重复列运动学方程。先用 \(v^2=2a\times\)剩余距离得到任意分界速度，再由匀变速平均速度处理首尾两段。