题目
五个质量均为 \(m\) 的小彩灯由轻绳依次连接并静止。天花板与彩灯 1 间的细绳同竖直方向夹角 \(\theta_1=30^\circ\)，连接彩灯 2、3 的细绳同水平方向夹角为 \(\theta_2\)，彩灯 5 右侧受水平恒力 \(F\)。下列说法错误的是（ ）。
选项
- A. 连接天花板和彩灯 1 的细绳拉力为 \(\frac{10\sqrt3}{3}mg\)
- B. \(\theta_2=45^\circ\)
- C. 水平恒力 \(F=\frac{5\sqrt3}{3}mg\)
- D. 保持 \(F\) 方向不变并缓慢增大 \(\theta_1\)，则 \(F\) 持续增大
学习定位
受力分析与平衡
题族：多绳多接触平衡
训练能力：整体法与隔离法、几何约束转化
前置知识：力的合成、共点力平衡
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 整体法
把五盏灯整体作为研究对象，外力只有总重力 \(5mg\)、顶部绳拉力 \(T_1\) 和水平力 \(F\)。
2. 求顶部拉力与水平力
竖直、水平平衡分别给出 \(T_1\cos30^\circ=5mg\)、\(F=T_1\sin30^\circ\)，故 \(T_1=10\sqrt3mg/3\)，\(F=5\sqrt3mg/3\)。
3. 隔离后三盏灯
截取彩灯 3、4、5，有 \(T_{23}\sin\theta_2=3mg\)、\(T_{23}\cos\theta_2=F\)，所以 \(\tan\theta_2=3\sqrt3/5\)，并非 \(45^\circ\)。
4. 讨论角度变化
一般有 \(F=5mg\tan\theta_1\)，在 \(0\lt\theta_1\lt90^\circ\) 内随角度单调增大。故错误项为 B。
初学者探索过程
从“多绳多接触平衡”开始探索
先把“单选第5题：五彩灯绳系平衡”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“单选第5题：五彩灯绳系平衡”后，判断为什么“把相互作用力同时画在同一个研究对象上”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“整体法与隔离法、几何约束转化”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把相互作用力同时画在同一个研究对象上。
检查这个想法：先执行：先隔离研究对象，只画它实际受到的力，再按方向列平衡方程。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[T_1\cos\theta_1=5mg,\quad F=T_1\sin\theta_1,\quad \tan\theta_2=\frac{3mg}{F}\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先隔离研究对象，只画它实际受到的力，再按方向列平衡方程”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“整体法与隔离法”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“平衡条件要求同一研究对象所受全部外力的矢量和为零”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“几何约束转化”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[T_1\cos\theta_1=5mg,\quad F=T_1\sin\theta_1,\quad \tan\theta_2=\frac{3mg}{F}\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：平衡条件要求同一研究对象所受全部外力的矢量和为零。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“整体法与隔离法、几何约束转化”如何受条件变化控制。
现实同构案例
支架、吊装与建筑静力：现实中的“多绳多接触平衡”
现实场景
吊灯支架、起重吊索和建筑节点都需要在静止状态下让各方向载荷彼此平衡。
题目与现实如何对应
题目中的物体对应结构节点，绳、杆和接触面对应现实支承，弹力与重力对应结构内力和外载荷。 当前题目“单选第5题：五彩灯绳系平衡”训练的“整体法与隔离法、几何约束转化”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[T_1\cos\theta_1=5mg,\quad F=T_1\sin\theta_1,\quad \tan\theta_2=\frac{3mg}{F}\]
更一般的模型关系是：
\[\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0\]
平衡条件要求同一研究对象所受全部外力的矢量和为零，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实结构的连接点并非完全光滑或刚性。
- 载荷波动会使静力问题转化为动力问题。
带回原题想一想
把“单选第5题：五彩灯绳系平衡”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先隔离研究对象，只画它实际受到的力，再按方向列平衡方程”建立模型。可先使用：
\[T_1\cos\theta_1=5mg,\quad F=T_1\sin\theta_1,\quad \tan\theta_2=\frac{3mg}{F}\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[T_1\cos\theta_1=5mg,\quad F=T_1\sin\theta_1,\quad \tan\theta_2=\frac{3mg}{F}\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：N 盏灯绳链的任意截面
\(N\) 盏质量均为 \(m\) 的灯由轻绳串联静止，最右端受水平力 \(F\)。顶部绳与竖直夹角为 \(\alpha\)。求 \(F\) 和顶部张力；再求连接第 \(q\) 与第 \(q+1\) 盏灯的绳同水平方向夹角 \(\beta_q\)。
变式答案
**整体平衡**
\(T_0\cos\alpha=Nmg\)，\(F=T_0\sin\alpha\)，故 \(T_0=Nmg/\cos\alpha\)，\(F=Nmg\tan\alpha\)。
**截取右端**
第 \(q+1\) 至第 \(N\) 盏共有 \(N-q\) 盏，故 \(\tan\beta_q=(N-q)mg/F=(N-q)/(N\tan\alpha)\)。
思路提示
**解题思路**
求外力优先用整体法，求某段绳方向则在该处切开并隔离右端。这样方程数最少，也不会在多个结点间重复传递张力。