题目
物理老师从操场竖直向上发射一枚总质量为 \(2\,\mathrm{kg}\) 的火箭模型。\(t=0\) 时发动机点火，提供竖直向上、大小恒为 \(45\,\mathrm N\) 的推力；3 s 后发动机熄火。火箭到达最高点后打开降落伞，在降落伞作用下向下做匀加速运动，到达地面时速度大小为 \(9\,\mathrm{m/s}\)。火箭筒体运动过程中受到的空气阻力大小恒为 \(5\,\mathrm N\)，取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)，忽略喷气导致的质量变化。求：（1）发动机熄火时的速度；（2）最大高度；（3）若降落伞阻力恒定，求其大小。
学习定位
直线运动与追及
题族：竖直多阶段运动
训练能力：过程划分、方向与符号管理
前置知识：牛顿第二定律、匀变速运动
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 动力上升阶段
上升时空气阻力向下。由 \(45-20-5=2a_1\)，得 \(a_1=10\,\mathrm{m/s^2}\)。3 s 后速度 \(v_1=a_1t=30\,\mathrm{m/s}\)，上升高度 \(h_1=\frac12a_1t^2=45\,\mathrm m\)。
2. 熄火上升阶段
熄火后重力与空气阻力均向下，减速度大小 \(a_2=(20+5)/2=12.5\,\mathrm{m/s^2}\)。继续上升 \(h_2=v_1^2/(2a_2)=36\,\mathrm m\)。
3. 求最大高度
火箭从地面到最高点的高度为 \(H=h_1+h_2=45+36=81\,\mathrm m\)。
4. 开伞下降阶段
从最高点由静止下降，\(9^2=2a_3H\)，得 \(a_3=0.5\,\mathrm{m/s^2}\)。向下取正，\(mg-f-F_\text{伞}=ma_3\)，即 \(20-5-F_\text{伞}=1\)，所以 \(F_\text{伞}=14\,\mathrm N\)。
初学者探索过程
从“竖直多阶段运动”开始探索
先把“解答第17题：火箭多阶段升降”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“解答第17题：火箭多阶段升降”后，判断为什么“跨越加速度变化的阶段仍使用同一个匀变速公式”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“过程划分、方向与符号管理”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：跨越加速度变化的阶段仍使用同一个匀变速公式。
检查这个想法：先执行：先统一正方向、初始时刻和各阶段边界，再写分段运动方程。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[v=v_0+at,\qquad x=v_0t+\frac12at^2\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先统一正方向、初始时刻和各阶段边界，再写分段运动方程”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“过程划分”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“每个匀变速阶段都由该阶段的初始状态和加速度唯一确定，并在边界处保持位置连续”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“方向与符号管理”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[v=v_0+at,\qquad x=v_0t+\frac12at^2\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：每个匀变速阶段都由该阶段的初始状态和加速度唯一确定，并在边界处保持位置连续。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“过程划分、方向与符号管理”如何受条件变化控制。
现实同构案例
车辆制动与追及预警：现实中的“竖直多阶段运动”
现实场景
汽车防碰系统利用相对距离、速度和制动加速度预测最小间距，并在达到危险边界前报警。
题目与现实如何对应
题目中的运动物体对应车辆，相遇或停止条件对应现实中的碰撞边界和停车位置。 当前题目“解答第17题：火箭多阶段升降”训练的“过程划分、方向与符号管理”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[v=v_0+at,\qquad x=v_0t+\frac12at^2\]
更一般的模型关系是：
\[v=v_0+at,\qquad x=v_0t+\frac12at^2\]
每个匀变速阶段都由该阶段的初始状态和加速度唯一确定，并在边界处保持位置连续，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 驾驶员反应时间会增加制动距离。
- 路面附着条件会改变可实现的减速度。
带回原题想一想
把“解答第17题：火箭多阶段升降”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先统一正方向、初始时刻和各阶段边界，再写分段运动方程”建立模型。可先使用：
\[v=v_0+at,\qquad x=v_0t+\frac12at^2\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[v=v_0+at,\qquad x=v_0t+\frac12at^2\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：火箭升降的符号化通式
质量为 \(m\) 的火箭由静止竖直发射，推力恒为 \(F\)，上升阻力恒为 \(f\)，发动机工作 \(\tau\) 后熄火。最高点开伞，由静止下降并以速度 \(v_L\) 落地。假设下降时筒体阻力仍为 \(f\)，伞阻力恒为 \(P\)。推导熄火速度、最大高度和 \(P\) 的通式。
变式答案
**动力段**
\(a_1=(F-mg-f)/m\)，\(v_1=a_1\tau\)，\(h_1=a_1\tau^2/2\)。
**惯性上升段**
减速度 \(a_2=g+f/m\)，故 \(h_2=v_1^2/(2a_2)\)，\(H=h_1+h_2\)。
**开伞下降段**
\(a_3=v_L^2/(2H)\)，向下列式 \(mg-f-P=ma_3\)，所以 \(P=mg-f-mv_L^2/(2H)\)。
思路提示
**解题思路**
每个阶段重新确定速度方向与阻力方向，先由动力学求加速度，再接运动学。最高点是速度归零和阻力换向的分界。