题目
如图所示，某种变速自行车有五个飞轮和三个链轮。链轮和飞轮的齿数如下表所示，后轮直径为 \(d=660\mathrm{mm}\)。
链轮齿数为 \(48,38,28\)，飞轮齿数为 \(15,18,21,24,28\)。人骑该车行进的速度为 \(v=4\mathrm{m/s}\) 时，求脚蹬踏板作匀速圆周运动的角速度最小值。
选项
- A. \(1.9\mathrm{rad/s}\)
- B. \(3.8\mathrm{rad/s}\)
- C. \(6.5\mathrm{rad/s}\)
- D. \(7.1\mathrm{rad/s}\)
学习定位
圆周运动动力学
题族：同轴、皮带与齿轮传动
训练能力：传动约束识别、角速度线速度换算
前置知识：周期与角速度、线速度
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 先求后轮角速度
后轮半径 \(r=\frac{d}{2}=0.330\mathrm{m}\)，自行车前进速度等于后轮边缘线速度，所以 \(\omega_{\text{轮}}=\frac{v}{r}=\frac{4}{0.330}\approx12.12\mathrm{rad/s}\)。
2. 后轮与飞轮同轴
飞轮固定在后轮轴上，所以 \(\omega_{\text{飞}}=\omega_{\text{轮}}\)。
3. 链条传动看齿数比
链条不打滑，飞轮边缘链速与链轮边缘链速相等。齿距相同，半径与齿数成正比，因此 \(\omega_{\text{踏}}N_{\text{链}}=\omega_{\text{飞}}N_{\text{飞}}\)，即 \(\omega_{\text{踏}}=\omega_{\text{轮}}\frac{N_{\text{飞}}}{N_{\text{链}}}\)。
4. 要踏板角速度最小
取最小飞轮齿数 \(N_{\text{飞}}=15\)，最大链轮齿数 \(N_{\text{链}}=48\)：\(\omega_{\min}=12.12\times\frac{15}{48}\approx3.79\mathrm{rad/s}\)。
初学者探索过程
从“同轴、皮带与齿轮传动”开始探索
先把“课上第3题：变速自行车传动”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“课上第3题：变速自行车传动”后，判断为什么“把向心力当成物体额外受到的一种力”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“传动约束识别、角速度线速度换算”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把向心力当成物体额外受到的一种力。
检查这个想法：先执行：先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“传动约束识别”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“角速度线速度换算”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“传动约束识别、角速度线速度换算”如何受条件变化控制。
现实同构案例
弯道、转盘与旋转设备：现实中的“同轴、皮带与齿轮传动”
现实场景
车辆转弯、离心机、游乐设施和工业转盘都需要由接触力或约束力持续改变速度方向。
题目与现实如何对应
题目中的圆心、半径和转速对应设备的旋转轴、工作半径和运行转速；支持力、摩擦力或拉力对应现实中的结构载荷。 当前题目“课上第3题：变速自行车传动”训练的“传动约束识别、角速度线速度换算”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]
更一般的模型关系是：
\[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]
无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 现实接触面的摩擦系数会随材料和温度变化。
- 高速转动还要考虑振动、形变和安全系数。
带回原题想一想
把“课上第3题：变速自行车传动”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力”建立模型。可先使用：
\[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：复合变速系统的最优齿比
### 基础设问
自行车前齿轮 \(40\) 齿，后齿轮 \(20\) 齿。若前齿轮角速度为 \(2\,\mathrm{rad/s}\)，求后齿轮角速度。
### 综合提升
自行车后轮半径为 \(R\)，车速为 \(v\)，前链轮齿数可在集合 \(\{N_i\}\) 中选择，后飞轮齿数可在 \(\{n_j\}\) 中选择。（1）推导踏频角速度；（2）求所有组合中的最小与最大值；（3）加入踏频舒适区间 \([\omega_1,\omega_2]\)，筛选可用档位；（4）讨论车速连续变化时的换挡边界。
变式答案
### 1. 基础设问
链条线速度相等，半径与齿数成正比，所以 \(\omega_1r_1=\omega_2r_2\)，\(\omega_2=\omega_1\frac{40}{20}=4\,\mathrm{rad/s}\)。
### 2. 综合提升
后轮与飞轮同轴，链条无滑动，故
\[\omega_{踏}=\frac{v}{R}\frac{n_j}{N_i}.\]
最小值取最小飞轮齿数与最大链轮齿数，最大值反之。舒适档位满足
\[\omega_1\le\frac{v}{R}\frac{n_j}{N_i}\le\omega_2.\]
对每个齿数组合把不等式反解成车速区间，其交界就是换挡边界。
思路提示
### 1. 基础思路
链传动看接触处线速度相等；同轴才是角速度相等。
### 2. 进阶思路
先得到离散档位的统一符号式，再做组合极值和可行区间筛选，比只算一个最小值更接近真实变速问题。
真题拓展
摩天轮座舱的速度、合力与机械能
高考真题 · 高度同构
2019年江苏卷 · 第6题
该真题与当前题同属“圆周运动动力学”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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