题目
两个质量相等的小球 \(A,B\) 用长度不等的细线拴在同一点，并在同一水平面内做匀速圆周运动。比较它们的周期、线速度、向心加速度以及绳的拉力与绳长关系。
选项
- A. 运动周期相等
- B. 运动线速度相等
- C. 向心加速度相等
- D. 受到绳的拉力与绳长成正比
学习定位
圆周运动动力学
题族：圆锥摆构型与参数
训练能力：空间受力分解、角速度与几何关联
前置知识：向心力、力的合成
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
整体解析
分步解析
1. 建立圆锥摆模型
两球在同一水平面内做圆锥摆运动，悬点到运动平面的高度相同，设为 \(h\)。
2. 推出周期相等
圆锥摆满足 \(T\cos\theta=mg\)、\(T\sin\theta=m\omega^2r\)，结合 \(r=h\tan\theta\)，得 \(\omega^2=\frac{g}{h}\)，所以周期相等。
3. 比较其他量
线速度 \(v=\omega r\)、向心加速度 \(a_c=\omega^2r\) 随半径变化；绳拉力 \(T=\frac{mg}{h}L\)，与绳长成正比。
初学者探索过程
从“圆锥摆构型与参数”开始探索
先把“例13：同高圆锥摆”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“例13：同高圆锥摆”后，判断为什么“把向心力当成物体额外受到的一种力”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“空间受力分解、角速度与几何关联”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把向心力当成物体额外受到的一种力。
检查这个想法：先执行：先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[T=\frac{mg}{\cos\theta}=\frac{mg}{h}L\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“空间受力分解”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“角速度与几何关联”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[T=\frac{mg}{\cos\theta}=\frac{mg}{h}L\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“空间受力分解、角速度与几何关联”如何受条件变化控制。
现实同构案例
弯道、转盘与旋转设备：现实中的“圆锥摆构型与参数”
现实场景
车辆转弯、离心机、游乐设施和工业转盘都需要由接触力或约束力持续改变速度方向。
题目与现实如何对应
题目中的圆心、半径和转速对应设备的旋转轴、工作半径和运行转速；支持力、摩擦力或拉力对应现实中的结构载荷。 当前题目“例13：同高圆锥摆”训练的“空间受力分解、角速度与几何关联”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[T=\frac{mg}{\cos\theta}=\frac{mg}{h}L\]
更一般的模型关系是：
\[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]
无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 现实接触面的摩擦系数会随材料和温度变化。
- 高速转动还要考虑振动、形变和安全系数。
带回原题想一想
把“例13：同高圆锥摆”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力”建立模型。可先使用：
\[T=\frac{mg}{\cos\theta}=\frac{mg}{h}L\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[T=\frac{mg}{\cos\theta}=\frac{mg}{h}L\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：同高圆锥摆
**基础设问**
两个小球悬于同一点，在同一水平面内做圆锥摆运动。若悬点到运动平面的高度为 \(h=0.45\,\mathrm{m}\)，求周期。取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)。
**综合提升**
半径为 \(r\)、倾角为 \(\theta\) 的弯道先按无摩擦设计，再考虑静摩擦因数 \(\mu\)。（1）求无摩擦设计速度；（2）分别写出高速、低速临界时的径向与竖直方程；（3）说明摩擦方向为何随速度改变；（4）给出求允许速度区间的统一步骤。
变式答案
**1. 基础设问**
同高圆锥摆满足 \(\omega=\sqrt{\frac{g}{h}}\)，所以 \(T=2\pi\sqrt{\frac{h}{g}}=2\pi\sqrt{0.045}\approx1.33\,\mathrm{s}\)。
**2. 综合提升**
无摩擦时
\[N\cos\theta=mg,\qquad N\sin\theta=m\frac{v_0^2}{r},\]
故 \(v_0=\sqrt{rg\tan\theta}\)。考虑摩擦时取 \(f=\mu N\)，高速临界摩擦沿斜面向下，低速临界沿斜面向上，分别联立
\[N\sin\theta\pm f\cos\theta=m\frac{v^2}{r},\qquad N\cos\theta\mp f\sin\theta=mg.\]
两组解给出 \(v_{\max}\) 与 \(v_{\min}\)。
思路提示
**基础思路**
同一高度决定同一角速度和周期，和绳长本身无关。
**进阶思路**
先用无摩擦速度作为分界：高于它时物体趋向外上方滑，低于它时趋向内下方滑，因此静摩擦方向相反。
真题拓展
双中子星绕共同中心运动
高考真题 · 同一考点
2018年全国新课标Ⅰ卷 · 物理部分第7题
该真题与当前题同属“圆锥摆构型与参数”题族，核心约束、主方程和边界检查一致；差别主要在情境、数据或设问层级。
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