题目
如图所示，质量均为 \(m\) 的 \(a,b\) 两个小球在光滑半球形碗内做圆周运动，碗的球心为 \(O\)，半径为 \(0.1\mathrm{m}\)，\(Oa,Ob\) 与竖直方向的夹角分别为 \(53^\circ,37^\circ\)。两球运动过程中，碗始终静止在水平地面上。已知 \(\sin37^\circ=0.6\)，\(g=10\mathrm{m/s^2}\)，则下列说法正确的是（ ）
选项
- A. \(a,b\) 两球做圆周运动的线速度之比为 \(8\sqrt3:3\)
- B. \(a,b\) 两球做圆周运动的角速度之比为 \(2:\sqrt3\)
- C. \(a,b\) 两球相邻两次相距最近的时间间隔为 \(\frac{2\sqrt{15}+3\sqrt5}{10}\pi\mathrm{s}\)
- D. \(a,b\) 两球运动过程中，碗对地面始终有摩擦力作用
学习定位
圆周运动动力学
题族：圆锥摆构型与参数
训练能力：空间受力分解、角速度与几何关联
前置知识：向心力、力的合成
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参考答案
分步解析
1. 单个小球先列受力
小球受重力 \(mg\) 和碗的支持力 \(N\)。竖直方向平衡，水平方向提供向心力：\(N\cos\theta=mg,\quad N\sin\theta=m\omega^2R\sin\theta\)。
2. 化简角速度
由上式得 \(\omega^2=\frac{g}{R\cos\theta}\)。已知 \(\cos53^\circ=0.6,\cos37^\circ=0.8\)，所以 \(\frac{\omega_a}{\omega_b}=\sqrt{\frac{\cos37^\circ}{\cos53^\circ}}=\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{2}{\sqrt3}\)，B 对。
3. 比较线速度
圆周半径 \(r=R\sin\theta\)，所以 \(v=\omega R\sin\theta\)。代入 \(\sin53^\circ=0.8,\sin37^\circ=0.6\)：\(\frac{v_a}{v_b}=\frac{0.8}{0.6}\cdot\frac{2}{\sqrt3}=\frac{8\sqrt3}{9}\)，不是 \(8\sqrt3:3\)，A 错。
4. 最近时间与摩擦
两球相邻两次最近对应角位置再次对齐，时间由相对角速度决定；按上式代入可知与 C 给出的时间不符。两球对碗的水平作用力大小分别为 \(mg\tan53^\circ\) 与 \(mg\tan37^\circ\)，不相等，合水平力不能始终自行抵消，因此地面对碗有静摩擦力，D 对。
初学者探索过程
从“圆锥摆构型与参数”开始探索
先把“补充第13题：半球碗双球圆周运动”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“补充第13题：半球碗双球圆周运动”后，判断为什么“把向心力当成物体额外受到的一种力”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“空间受力分解、角速度与几何关联”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把向心力当成物体额外受到的一种力。
检查这个想法：先执行：先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[N\cos\theta=mg,\qquad \omega^2=\frac{g}{R\cos\theta},\qquad v=\omega R\sin\theta\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“空间受力分解”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“角速度与几何关联”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[N\cos\theta=mg,\qquad \omega^2=\frac{g}{R\cos\theta},\qquad v=\omega R\sin\theta\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“空间受力分解、角速度与几何关联”如何受条件变化控制。
现实同构案例
弯道、转盘与旋转设备：现实中的“圆锥摆构型与参数”
现实场景
车辆转弯、离心机、游乐设施和工业转盘都需要由接触力或约束力持续改变速度方向。
题目与现实如何对应
题目中的圆心、半径和转速对应设备的旋转轴、工作半径和运行转速；支持力、摩擦力或拉力对应现实中的结构载荷。 当前题目“补充第13题：半球碗双球圆周运动”训练的“空间受力分解、角速度与几何关联”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[N\cos\theta=mg,\qquad \omega^2=\frac{g}{R\cos\theta},\qquad v=\omega R\sin\theta\]
更一般的模型关系是：
\[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]
无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 现实接触面的摩擦系数会随材料和温度变化。
- 高速转动还要考虑振动、形变和安全系数。
带回原题想一想
把“补充第13题：半球碗双球圆周运动”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力”建立模型。可先使用：
\[N\cos\theta=mg,\qquad \omega^2=\frac{g}{R\cos\theta},\qquad v=\omega R\sin\theta\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[N\cos\theta=mg,\qquad \omega^2=\frac{g}{R\cos\theta},\qquad v=\omega R\sin\theta\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：半球碗双球的相对周期
### 基础设问
两个质量均为 \(m\) 的小球 \(A,B\) 在同一光滑半球形碗内做水平圆周运动，碗半径为 \(R=0.20\,\mathrm{m}\)，\(OA,OB\) 与竖直方向夹角分别为 \(60^\circ,30^\circ\)，取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)。求两球的角速度之比 \(\omega_A:\omega_B\) 和线速度之比 \(v_A:v_B\)。
### 综合提升
两球在同一光滑半球碗内，半径为 \(R\)，各自半径与竖直方向夹角为 \(\theta_a,\theta_b\)。（1）推导两球角速度和线速度；（2）求同向运动时相邻两次角位置重合的时间；（3）改为反向运动重新作答；（4）写出碗所需地面水平摩擦的矢量表达式并讨论何时瞬时为零。
变式答案
### 1. 基础设问
\(\omega_A:\omega_B=\sqrt{\frac{\cos30^\circ}{\cos60^\circ}}=\sqrt[4]{3}:1\)。线速度比为 \(v_A:v_B=\omega_A R\sin60^\circ:\omega_B R\sin30^\circ=3^{3/4}:1\)。
### 2. 综合提升
单球满足
\[\omega_i=\sqrt{\frac{g}{R\cos\theta_i}},\qquad v_i=\omega_iR\sin\theta_i.\]
同向时相对周期
\[T_{rel}=\frac{2\pi}{|\omega_a-\omega_b|},\]
反向时把分母改为 \(\omega_a+\omega_b\)。碗受到两球水平作用力的矢量和，地面摩擦为其反向；只有两水平作用力等大且方向相反的瞬间才可能为零。
思路提示
### 1. 基础思路
先把半球碗约束看成圆锥摆：\(N\cos\theta=mg\)，\(N\sin\theta=m\omega^2R\sin\theta\)，得到 \(\omega^2=\frac{g}{R\cos\theta}\)。角速度比只比较 \(\cos\theta\)，线速度还要乘轨道半径 \(r=R\sin\theta\)。
### 2. 进阶思路
先独立求每个球的角速度，再转入相对相位；碗的摩擦需要做矢量合成，不能只比较两个力的大小。
真题拓展
双中子星绕共同中心运动
高考真题 · 同一考点
2018年全国新课标Ⅰ卷 · 物理部分第7题
该真题与当前题同属“圆锥摆构型与参数”题族，核心约束、主方程和边界检查一致；差别主要在情境、数据或设问层级。
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