题目
光滑圆锥顶端用长 \(L\) 的细线悬挂质量为 \(m\) 的小球，圆锥顶角为 \(2\theta\)。圆锥和小球一起以角速度 \(\omega\) 匀速转动，小球压紧锥面。求绳张力、离开锥面的临界角速度，并说明 \(T-\omega^2\) 图像。
学习定位
圆周运动动力学
题族：圆锥摆构型与参数
训练能力：空间受力分解、角速度与几何关联
前置知识：向心力、力的合成
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
整体解析
分步解析
1. 受力分析
小球受重力、绳张力和锥面支持力。未离开锥面时，支持力与绳张力共同提供圆周运动条件。
2. 离面临界
刚好离开锥面时，支持力 \(N=0\)，模型退化为普通圆锥摆。
3. 求临界角速度
临界条件为 \(\omega_0^2=\frac{g}{L\cos\theta}\)，所以 \(\omega_0=\sqrt{\frac{g}{L\cos\theta}}\)。
初学者探索过程
从“圆锥摆构型与参数”开始探索
先把“例15：圆锥面圆周运动”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“例15：圆锥面圆周运动”后，判断为什么“把向心力当成物体额外受到的一种力”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“空间受力分解、角速度与几何关联”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把向心力当成物体额外受到的一种力。
检查这个想法：先执行：先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“空间受力分解”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“角速度与几何关联”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“空间受力分解、角速度与几何关联”如何受条件变化控制。
现实同构案例
弯道、转盘与旋转设备：现实中的“圆锥摆构型与参数”
现实场景
车辆转弯、离心机、游乐设施和工业转盘都需要由接触力或约束力持续改变速度方向。
题目与现实如何对应
题目中的圆心、半径和转速对应设备的旋转轴、工作半径和运行转速；支持力、摩擦力或拉力对应现实中的结构载荷。 当前题目“例15：圆锥面圆周运动”训练的“空间受力分解、角速度与几何关联”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]
更一般的模型关系是：
\[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]
无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 现实接触面的摩擦系数会随材料和温度变化。
- 高速转动还要考虑振动、形变和安全系数。
带回原题想一想
把“例15：圆锥面圆周运动”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力”建立模型。可先使用：
\[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：圆锥面离面临界
**基础设问**
小球用长 \(L=0.80\,\mathrm{m}\) 的绳贴着光滑圆锥面转动，绳与竖直方向夹角为 \(30^\circ\)。若刚好离开锥面，求角速度。取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)。
**综合提升**
把原图像中的平台或直线段推广为参数模型。设小球速度大小保持 \(v\)，碰钉或切换约束后半径由 \(r\) 变为 \(\lambda r\)。（1）求向心力突变比；（2）求周期突变比；（3）说明怎样由图像的平台高度与持续时间分别反求半径比；（4）判断图像突变时速度是否必然突变。
变式答案
**1. 基础设问**
离面临界时支持力 \(N=0\)，化为普通圆锥摆：\(\omega^2=\frac{g}{L\cos\theta}\)。所以 \(\omega=\sqrt{\frac{10}{0.80\cos30^\circ}}\approx3.80\,\mathrm{rad/s}\)。
**2. 综合提升**
速度不变时
\[F_c=\frac{mv^2}{r},\qquad T=\frac{2\pi r}{v}.\]
所以 \(F_2/F_1=1/\lambda\)，\(T_2/T_1=\lambda\)。平台高度的反比或持续时间的正比都可反求 \(\lambda\)。约束力可瞬时突变，但若冲量沿径向且不做瞬时功，速度大小不必突变。
思路提示
**基础思路**
刚好离开就是支持力为零，剩下绳拉力和重力构成圆锥摆。
**进阶思路**
把图像高度解释为力、宽度解释为时间，再用同一不变量连接切换前后，而不是只读坐标。
真题拓展
双中子星绕共同中心运动
高考真题 · 同一考点
2018年全国新课标Ⅰ卷 · 物理部分第7题
该真题与当前题同属“圆锥摆构型与参数”题族，核心约束、主方程和边界检查一致；差别主要在情境、数据或设问层级。
查看题目资料