题目
质量为 \(m\) 的小球由轻绳 \(a,b\) 分别系于细杆 \(A,B\) 点，\(a\) 绳与水平方向成 \(\theta\)，\(b\) 绳水平且长为 \(l\)。杆绕 \(AB\) 以角速度 \(\omega\) 匀速转动，两绳伸直，小球在水平面内做匀速圆周运动。判断绳张力和临界角速度。
选项
- A. \(a\) 绳张力不可能为零
- B. \(a\) 绳的张力随角速度的增大而增大
- C. 当角速度 \(\omega>\sqrt{\frac{g\cos\theta}{l}}\) 时，\(b\) 绳将出现张力
- D. 若 \(b\) 绳突然被剪断，\(a\) 绳的张力可能不变
学习定位
圆周运动动力学
题族：圆锥摆构型与参数
训练能力：空间受力分解、角速度与几何关联
前置知识：向心力、力的合成
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
整体解析
分步解析
1. 竖直方向平衡
小球在水平面内做圆周运动，竖直方向无加速度，所以 \(a\) 绳竖直分量平衡重力：\(T_a\sin\theta=mg\)。
2. 临界条件
当 \(b\) 绳刚要有张力时，令 \(T_b=0\)。水平方向有 \(T_a\cos\theta=ml\omega_0^2\)。
3. 求临界角速度
联立两式得 \(\omega_0=\sqrt{\frac{g\cot\theta}{l}}\)。若 \(\omega\) 更大，\(b\) 绳出现张力。
初学者探索过程
从“圆锥摆构型与参数”开始探索
先把“例14：双绳水平圆周运动”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“例14：双绳水平圆周运动”后，判断为什么“把向心力当成物体额外受到的一种力”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“空间受力分解、角速度与几何关联”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把向心力当成物体额外受到的一种力。
检查这个想法：先执行：先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[\omega_0=\sqrt{\frac{g\cot\theta}{l}}\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“空间受力分解”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“角速度与几何关联”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[\omega_0=\sqrt{\frac{g\cot\theta}{l}}\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“空间受力分解、角速度与几何关联”如何受条件变化控制。
现实同构案例
弯道、转盘与旋转设备：现实中的“圆锥摆构型与参数”
现实场景
车辆转弯、离心机、游乐设施和工业转盘都需要由接触力或约束力持续改变速度方向。
题目与现实如何对应
题目中的圆心、半径和转速对应设备的旋转轴、工作半径和运行转速；支持力、摩擦力或拉力对应现实中的结构载荷。 当前题目“例14：双绳水平圆周运动”训练的“空间受力分解、角速度与几何关联”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[\omega_0=\sqrt{\frac{g\cot\theta}{l}}\]
更一般的模型关系是：
\[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]
无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 现实接触面的摩擦系数会随材料和温度变化。
- 高速转动还要考虑振动、形变和安全系数。
带回原题想一想
把“例14：双绳水平圆周运动”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力”建立模型。可先使用：
\[\omega_0=\sqrt{\frac{g\cot\theta}{l}}\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[\omega_0=\sqrt{\frac{g\cot\theta}{l}}\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：双绳临界角速度
**基础设问**
小球由斜绳和水平绳系住，水平绳长 \(l=0.50\,\mathrm{m}\)，斜绳与水平方向成 \(60^\circ\)。求水平绳刚要有张力时的临界角速度。取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)。
**综合提升**
在原圆周运动模型中把半径改为 \(\lambda r\)。（1）分别讨论角速度不变、线速度不变、周期不变三种控制方式下 \(v,\omega,T,a_c\) 的变化；（2）指出哪些结论不能跨控制方式直接套用；（3）设计一个可由测量周期和向心加速度反求半径的关系式。
变式答案
**1. 基础设问**
临界时水平绳张力为零，\(\omega_0=\sqrt{\frac{g\cot\theta}{l}}\)。代入得 \(\omega_0=\sqrt{\frac{10\cot60^\circ}{0.50}}\approx3.40\,\mathrm{rad/s}\)。
**2. 综合提升**
由 \(v=\omega r\)、\(T=2\pi/\omega\)、\(a_c=\omega^2r=v^2/r\)：角速度不变时 \(v,a_c\) 均乘 \(\lambda\)；线速度不变时 \(\omega\) 除以 \(\lambda\)、\(T\) 乘 \(\lambda\)、\(a_c\) 除以 \(\lambda\)；周期不变等价于角速度不变。由 \(a_c=4\pi^2r/T^2\) 可得 \(r=a_cT^2/(4\pi^2)\)。
思路提示
**基础思路**
临界点先令水平绳张力为零，只由斜绳竖直平衡并提供水平向心分量。
**进阶思路**
同一个半径变化，在不同控制量保持不变时会产生不同结论；先声明不变量再做比例推导。
真题拓展
双中子星绕共同中心运动
高考真题 · 同一考点
2018年全国新课标Ⅰ卷 · 物理部分第7题
该真题与当前题同属“圆锥摆构型与参数”题族，核心约束、主方程和边界检查一致；差别主要在情境、数据或设问层级。
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