题目
《天工开物》牛力齿轮水车中，齿轮 \(A\) 带动齿轮 \(B\)，\(B,C\) 同轴。三齿轮半径满足 \(R_A:R_B:R_C=5:3:1\)。判断周期、角速度、边缘线速度和向心加速度比。
选项
- A. 齿轮 \(A,B,C\) 的周期之比为 \(5:5:3\)
- B. 齿轮 \(A,B,C\) 的角速度之比为 \(3:5:5\)
- C. 齿轮 \(A,B,C\) 边缘的线速度大小之比为 \(3:2:1\)
- D. 齿轮 \(A,B,C\) 边缘的向心加速度大小之比为 \(9:15:5\)
学习定位
圆周运动动力学
题族：同轴、皮带与齿轮传动
训练能力：传动约束识别、角速度线速度换算
前置知识：周期与角速度、线速度
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
整体解析
分步解析
1. 啮合齿轮
齿轮 \(A,B\) 啮合，边缘线速度相等：\(\omega_A R_A=\omega_B R_B\)。
2. 同轴齿轮
齿轮 \(B,C\) 同轴，所以 \(\omega_B=\omega_C\)。
3. 比较各量
角速度比确定后，周期用 \(T=\frac{2\pi}{\omega}\)，边缘线速度用 \(v=\omega r\)，向心加速度用 \(a=\omega^2r\) 分别比较。
初学者探索过程
从“同轴、皮带与齿轮传动”开始探索
先把“A3：牛力齿轮水车”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“A3：牛力齿轮水车”后，判断为什么“把向心力当成物体额外受到的一种力”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“传动约束识别、角速度线速度换算”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把向心力当成物体额外受到的一种力。
检查这个想法：先执行：先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[a=\omega^2r\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“传动约束识别”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“角速度线速度换算”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[a=\omega^2r\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“传动约束识别、角速度线速度换算”如何受条件变化控制。
现实同构案例
弯道、转盘与旋转设备：现实中的“同轴、皮带与齿轮传动”
现实场景
车辆转弯、离心机、游乐设施和工业转盘都需要由接触力或约束力持续改变速度方向。
题目与现实如何对应
题目中的圆心、半径和转速对应设备的旋转轴、工作半径和运行转速；支持力、摩擦力或拉力对应现实中的结构载荷。 当前题目“A3：牛力齿轮水车”训练的“传动约束识别、角速度线速度换算”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[a=\omega^2r\]
更一般的模型关系是：
\[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]
无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 现实接触面的摩擦系数会随材料和温度变化。
- 高速转动还要考虑振动、形变和安全系数。
带回原题想一想
把“A3：牛力齿轮水车”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力”建立模型。可先使用：
\[a=\omega^2r\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[a=\omega^2r\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：齿轮水车比例
**基础设问**
齿轮 \(A\) 与齿轮 \(B\) 啮合，半径比 \(R_A:R_B=4:2\)，\(B\) 与 \(C\) 同轴。求 \(\omega_A:\omega_B\)。
**综合提升**
在原输出轴上同轴加装半径为 \(r\) 的主动轮，再用无滑动皮带带动半径为 \(\lambda r\) 的从动轮。（1）用原输出角速度 \(\omega_0\) 表示新轮角速度；（2）比较两轮边缘线速度；（3）求两轮边缘向心加速度之比；（4）反求使新轮边缘向心加速度为主动轮一半时的 \(\lambda\)。
变式答案
**1. 基础设问**
啮合齿轮边缘线速度相等，\(\omega_A R_A=\omega_B R_B\)。所以 \(\omega_A:\omega_B=R_B:R_A=2:4=1:2\)。
**2. 综合提升**
无滑动给出 \(\omega_0r=\omega_1\lambda r\)，故 \(\omega_1=\omega_0/\lambda\)，两接触边缘线速度相等。向心加速度满足
\[a_0=\omega_0^2r,\qquad a_1=\left(\frac{\omega_0}{\lambda}\right)^2\lambda r=\frac{a_0}{\lambda}.\]
所以 \(a_1:a_0=1:\lambda\)；若 \(a_1=a_0/2\)，则 \(\lambda=2\)。
思路提示
**基础思路**
啮合用边缘线速度相等；同轴再用角速度相等。
**进阶思路**
新增一层传动后不能只连乘转速比，还要回到每个实际半径计算向心加速度。
真题拓展
摩天轮座舱的速度、合力与机械能
高考真题 · 高度同构
2019年江苏卷 · 第6题
该真题与当前题同属“圆周运动动力学”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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