题目
两个同轴光滑漏斗与竖直轴夹角分别为 \(\alpha,\beta\)，且 \(\alpha<\beta\)。小球 \(A,B,C\) 在漏斗上做匀速圆周运动，\(A,B\) 在同一漏斗不同位置，\(C\) 在另一漏斗上且与 \(B\) 等高。比较支持力、向心加速度、速度和周期。
选项
- A. A球与B球受到的支持力一定大小相等
- B. A球与B球的向心加速度一定大小相等
- C. B球与C球的速度一定大小相等
- D. B球的周期一定等于C球的周期
学习定位
圆周运动动力学
题族：圆锥摆构型与参数
训练能力：空间受力分解、角速度与几何关联
前置知识：向心力、力的合成
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
整体解析
分步解析
1. 受力模型
小球在光滑漏斗中只受重力和支持力，支持力的竖直分量平衡重力，水平分量提供向心力。
2. 比较加速度和支持力
漏斗角度决定支持力分解关系，也决定向心加速度与 \(g\) 的关系。同一漏斗上的小球角度相同，相关规律相同。
3. 比较速度和周期
速度还与轨道半径有关：\(v=\sqrt{a_cr}\)。周期 \(T=\frac{2\pi r}{v}\)，需要结合几何高度进一步比较。
初学者探索过程
从“圆锥摆构型与参数”开始探索
先把“B10：双漏斗小球”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“B10：双漏斗小球”后，判断为什么“把向心力当成物体额外受到的一种力”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“空间受力分解、角速度与几何关联”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把向心力当成物体额外受到的一种力。
检查这个想法：先执行：先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[T=\frac{2\pi r}{v}\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“空间受力分解”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“角速度与几何关联”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[T=\frac{2\pi r}{v}\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“空间受力分解、角速度与几何关联”如何受条件变化控制。
现实同构案例
弯道、转盘与旋转设备：现实中的“圆锥摆构型与参数”
现实场景
车辆转弯、离心机、游乐设施和工业转盘都需要由接触力或约束力持续改变速度方向。
题目与现实如何对应
题目中的圆心、半径和转速对应设备的旋转轴、工作半径和运行转速；支持力、摩擦力或拉力对应现实中的结构载荷。 当前题目“B10：双漏斗小球”训练的“空间受力分解、角速度与几何关联”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[T=\frac{2\pi r}{v}\]
更一般的模型关系是：
\[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]
无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 现实接触面的摩擦系数会随材料和温度变化。
- 高速转动还要考虑振动、形变和安全系数。
带回原题想一想
把“B10：双漏斗小球”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力”建立模型。可先使用：
\[T=\frac{2\pi r}{v}\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[T=\frac{2\pi r}{v}\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：光滑漏斗圆周运动
**基础设问**
小球在光滑漏斗内做水平匀速圆周运动，漏斗母线与竖直轴夹角为 \(37^\circ\)，小球到锥顶的竖直高度为 \(h=0.80\,\mathrm{m}\)。求周期 \(T\)。取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)。
**综合提升**
把原约束改为“只能拉、不能推”的轻绳，小球在竖直圆周内运动，半径为 \(r\)。（1）求恰能通过最高点的最小最高点速度；（2）若全过程只有重力做功，求对应的最小最低点速度；（3）求该临界状态最低点绳张力；（4）若半径改为 \(\lambda r\)，给出三者的缩放关系。
变式答案
**1. 基础设问**
漏斗圆周运动可化为圆锥摆，高度决定角速度：\(\omega=\sqrt{\frac{g}{h}}\)。所以 \(T=2\pi\sqrt{\frac{h}{g}}=2\pi\sqrt{0.08}\approx1.78\,\mathrm{s}\)。
**2. 综合提升**
最高点临界张力为零：
\[mg=m\frac{v_t^2}{r}\Rightarrow v_{t,\min}=\sqrt{gr}.\]
由最低点到最高点上升 \(2r\)：\(v_b^2=v_t^2+4gr=5gr\)，故 \(v_{b,\min}=\sqrt{5gr}\)。最低点
\[T_b-mg=m\frac{v_b^2}{r}\Rightarrow T_b=6mg.\]
半径乘 \(\lambda\) 后两临界速度均乘 \(\sqrt\lambda\)，临界张力仍为 \(6mg\)。
思路提示
**基础思路**
不要急着算半径。光滑锥面约束下，周期可由竖直高度 \(h\) 直接决定。
**进阶思路**
先用约束力为零确定最高点临界，再用能量把临界状态传到最低点；这比只比较某一位置多了一层全过程联系。
真题拓展
双中子星绕共同中心运动
高考真题 · 同一考点
2018年全国新课标Ⅰ卷 · 物理部分第7题
该真题与当前题同属“圆锥摆构型与参数”题族，核心约束、主方程和边界检查一致；差别主要在情境、数据或设问层级。
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