圆周运动

章节题目概括

1. 例3：变速自行车脚踏板角速度

   变速自行车有五个飞轮和三个链轮，链轮齿数为 \(48,38,28\)，飞轮齿数为 \(15,18,21,24,28\)，后轮直径 \(d=660\,\mathrm{mm}\)。人骑车速度 \(v=4\,\mathrm{m/s}\) 时，求脚蹬踏板做匀速圆周运动角速度的最小值。

2. B9：打夯机

   小型打夯机可简化为质量为 \(M\) 的支架上由长 \(l\) 的轻杆带动质量为 \(m\) 的铁球，铁球以角速度 \(\omega\) 做匀速圆周运动。判断线速度、向心加速度、最低点压力和最高点临界。

3. B10：双漏斗小球

   两个同轴光滑漏斗与竖直轴夹角分别为 \(\alpha,\beta\)，且 \(\alpha<\beta\)。小球 \(A,B,C\) 在漏斗上做匀速圆周运动，\(A,B\) 在同一漏斗不同位置，\(C\) 在另一漏斗上且与 \(B\) 等高。比较支持力、向心加速度、速度和周期。

4. 课7：汽车过弯最大速度

   汽车在水平圆弧弯道上匀速通过，弯道半径为 \(R\)，轮胎与地面间的动摩擦因数为 \(\mu\)。求汽车不发生侧滑时的最大速度。

5. 例2：子弹穿过旋转纸筒

   直径为 \(d\) 的纸筒以角速度 \(\omega\) 绕轴 \(O\) 匀速转动，子弹沿直径穿过纸筒。子弹在纸筒旋转不到半周时留下 \(a,b\) 两个弹孔，已知 \(aO\) 与 \(bO\) 的夹角为 \(\varphi\)，求子弹速度大小。

6. 例4：蛋糕裱花圆盘转动

   蛋糕放在绕中心匀速转动的圆盘上，蛋糕直径约 \(20\,\mathrm{cm}\)。每隔 \(4\,\mathrm{s}\) 点一次奶油，一周均匀点出 \(15\) 个奶油点。判断圆盘周期、角速度和蛋糕边缘奶油点的线速度。

7. 例5：飞镖与转盘游戏

   圆盘直径为 \(d\)，飞镖距圆盘距离为 \(L\)，飞镖对准圆盘上边缘 \(A\) 点以水平速度 \(v_0\) 抛出。飞镖抛出的同时，圆盘绕过圆心 \(O\) 且垂直盘面的水平轴以角速度 \(\omega\) 匀速转动。若飞镖恰好击中 \(A\) 点，判断 \(\omega,d,L,v_0,g\) 的关…

8. A2：圆盘点奶油问题

   圆盘绕中心匀速转动，蛋糕放在圆盘上。若每隔 \(4\,\mathrm{s}\) 点一次奶油，一周均匀点出 \(15\) 个奶油点，判断圆盘周期和角速度。

9. 例6：皮带传动向心加速度

   大轮通过皮带带动小轮转动，皮带与两轮无滑动。大轮半径是小轮半径的 \(2\) 倍，大轮上 \(S\) 点到转轴的距离是大轮半径的一半。已知大轮边缘 \(P\) 点的向心加速度为 \(10\,\mathrm{m/s^2}\)，求 \(S\) 点和小轮边缘 \(Q\) 点的向心加速度。

10. 例8：转盘连接小球求加速度和速度

    小球跟着转盘一起做匀速圆周运动。不计小球尺寸，设转盘半径为 \(R\)，轻绳长为 \(L\)，绳与竖直方向夹角为 \(\theta\)。求小球的向心加速度和线速度。

11. 例9：双人圆周运动

    男女溜冰运动员质量分别为 \(80\,\mathrm{kg}\)、\(40\,\mathrm{kg}\)，面对面拉着弹簧秤做圆周运动。两人相距 \(0.9\,\mathrm{m}\)，弹簧秤示数为 \(9.2\,\mathrm{N}\)。判断两人的半径、角速度和速率比。

12. 例10：转台临界滑动

    转台上放有 \(A,B,C\) 三物，质量分别为 \(2m,m,m\)，离轴距离分别为 \(R,R,2R\)，它们与转台间的动摩擦因数相同。转台转动时，判断摩擦力大小、滑动临界和谁先滑动。

13. 例11：突然停止悬绳张力

    两完全相同小球 \(A,B\) 用长 \(L=0.8\,\mathrm{m}\) 的细绳悬于以 \(v=4\,\mathrm{m/s}\) 向左匀速运动的小车顶部，两球与小车前后壁接触。小车突然停止，取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)，求此时悬线张力之比。

14. 例12：细绳绕钉拉力图像

    光滑水平面上有两根细钉 \(A,B\) 和小球 \(C\)，三者在同一直线上。细绳挂在 \(B\) 上，给小球一个垂直于绳的速度，使其绕钉做圆周运动；每次细绳碰钉均无机械能损失。已知细绳拉力随时间变化图像，判断碰钉时刻、拉力大小和时间间隔。

15. 例13：同高圆锥摆

    两个质量相等的小球 \(A,B\) 用长度不等的细线拴在同一点，并在同一水平面内做匀速圆周运动。比较它们的周期、线速度、向心加速度以及绳的拉力与绳长关系。

16. 例14：双绳水平圆周运动

    质量为 \(m\) 的小球由轻绳 \(a,b\) 分别系于细杆 \(A,B\) 点，\(a\) 绳与水平方向成 \(\theta\)，\(b\) 绳水平且长为 \(l\)。杆绕 \(AB\) 以角速度 \(\omega\) 匀速转动，两绳伸直，小球在水平面内做匀速圆周运动。判断绳张力和临界角速度。

17. 例15：圆锥面圆周运动

    光滑圆锥顶端用长 \(L\) 的细线悬挂质量为 \(m\) 的小球，圆锥顶角为 \(2\theta\)。圆锥和小球一起以角速度 \(\omega\) 匀速转动，小球压紧锥面。求绳张力、离开锥面的临界角速度，并说明 \(T-\omega^2\) 图像。

18. A1：皮带轮运动分析

    两个半径相等的大轮构成皮带轮结构，\(A,B\) 两点到各自转轴的半径比为 \(2:1\)，\(C,D\) 两点到各自转轴的半径比也为 \(2:1\)。判断各点线速度和角速度关系。

19. A2：泼水成冰运动分析

    杯子沿圆弧匀速泼水，半径约 \(1\,\mathrm{m}\)，在 \(0.4\,\mathrm{s}\) 内转过 \(\frac{2\pi}{5}\)。判断小水珠速度方向、向心加速度方向、线速度和向心加速度大小。

20. A3：牛力齿轮水车

    《天工开物》牛力齿轮水车中，齿轮 \(A\) 带动齿轮 \(B\)，\(B,C\) 同轴。三齿轮半径满足 \(R_A:R_B:R_C=5:3:1\)。判断周期、角速度、边缘线速度和向心加速度比。

21. A4：子弹射穿圆筒

    半径为 \(R\) 的竖直圆筒绕中心轴线匀速转动。子弹以水平速度 \(v_0\) 沿圆筒直径方向从左侧射入，从右侧射出后发现两弹孔在同一竖直线上。判断筒内运动时间、孔高度差和圆筒转动周期关系。

22. A5：悬线碰钉子

    长为 \(L\) 的悬线固定于 \(O\) 点，\(O\) 点正下方 \(OC=\frac{L}{2}\) 处有钉子 \(C\)。小球从与悬点等高处由静止释放，运动到 \(O\) 正下方时悬线碰钉。判断碰钉前后线速度、角速度、向心加速度和张力变化。

23. B8：转盘绳连木块

    水平转盘绕竖直轴转动，转盘上有相同木块 \(A,B\)，\(A\) 距轴 \(L\)，\(B\) 距轴 \(2L\)，两木块间用长 \(L\) 的细绳连接。两木块最大静摩擦力均为各自重力的 \(k\) 倍。角速度从零缓慢增大，判断滑动、绳张力和摩擦力变化。

24. B11：竖直圆周运动物块

    物块放在水平木板上，木板托住物块绕 \(O\) 点在竖直平面内做半径为 \(R\) 的匀速圆周运动，角速度为 \(\omega\)。物块与木板间动摩擦因数为 \(\mu\)，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，始终相对静止且木板保持水平。判断圆心等高处摩擦力和 \(\omega\) 最大值。

25. C12：旋转飞椅

    旋转飞椅可简化为转盘带动顶部圆盘转动，长为 \(L\) 的轻质悬绳一端系在圆盘上，另一端系椅子。两绳与竖直方向夹角分别为 \(\theta_1=37^\circ\)、\(\theta_2=53^\circ\)，椅子与游客总质量分别为 \(m_A,m_B\)。判断向心力来源、拉力比、向心加速度比和夹角是否与质…

26. 课上第2题：子弹穿旋转圆筒

    如图所示，直径为 \(d\) 的纸筒以角速度 \(\omega\) 绕轴 \(O\) 匀速转动。从枪口发射的子弹沿直径穿过圆筒。 若子弹在圆筒旋转不到半周时在圆筒上留下 \(a\)、\(b\) 两个弹孔，已知 \(aO\) 和 \(bO\) 的夹角为 \(\varphi\)，求子弹的速度大小。

27. 课上第3题：变速自行车传动

    如图所示，某种变速自行车有五个飞轮和三个链轮。链轮和飞轮的齿数如下表所示，后轮直径为 \(d=660\mathrm{mm}\)。 链轮齿数为 \(48,38,28\)，飞轮齿数为 \(15,18,21,24,28\)。人骑该车行进的速度为 \(v=4\mathrm{m/s}\) 时，求脚蹬踏板作匀速圆周运动…

28. 第9题：打夯机

    如图甲所示为建筑行业使用的一种小型打夯机，其原理可简化为一个质量为 \(M\) 的支架（含电动机）上由一根长为 \(l\) 的轻杆带动一个质量为 \(m\) 的铁球（铁球可视为质点），如图乙所示，重力加速度为 \(g\)。若在某次打夯过程中，铁球以角速度 \(\omega\) 匀速转动，则（ ）

29. 补充第13题：半球碗双球圆周运动

    如图所示，质量均为 \(m\) 的 \(a,b\) 两个小球在光滑半球形碗内做圆周运动，碗的球心为 \(O\)，半径为 \(0.1\mathrm{m}\)，\(Oa,Ob\) 与竖直方向的夹角分别为 \(53^\circ,37^\circ\)。两球运动过程中，碗始终静止在水平地面上。已知 \(\sin37^…

章节定理、规律与公式汇总

核心定理与规律

1. 向心加速度描述速度方向改变的快慢，方向始终指向瞬时圆心；向心力是沿半径方向合力的效果，不是额外的一种力。
2. 同轴转动各点角速度相同；皮带不打滑或齿轮啮合处的线速度大小相同。
3. 竖直圆周运动需同时使用径向动力学与能量关系，并检查绳、杆、轨道所能提供的力的方向。

常用公式

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