题目
小型打夯机可简化为质量为 \(M\) 的支架上由长 \(l\) 的轻杆带动质量为 \(m\) 的铁球，铁球以角速度 \(\omega\) 做匀速圆周运动。判断线速度、向心加速度、最低点压力和最高点临界。
选项
- A. 铁球转动过程线速度不变
- B. 铁球做圆周运动的向心加速度大小是 \(\omega^2l+g\)
- C. 铁球转动到最低点时，打夯机整体对地面压力最大
- D. 若铁球转动到最高点时，支架对地面的压力刚好为零，则 \(\omega=\sqrt{\frac{(M+m)g}{ml}}\)
学习定位
圆周运动动力学
题族：竖直圆周运动临界
训练能力：最高最低点受力、不断约束条件判断
前置知识：机械能守恒、向心力
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
整体解析
分步解析
1. 线速度和加速度
铁球做半径为 \(l\) 的匀速圆周运动，速率为 \(v=\omega l\)，向心加速度大小为 \(a_c=\omega^2l\)，方向不断变化。
2. 最低点压力最大
最低点铁球向心加速度向上，支架受到更大的向下作用，因此打夯机整体对地面压力最大。
3. 最高点临界
最高点铁球向心加速度向下。若支架对地面压力刚好为零，则 \((M+m)g=m\omega^2l\)，解得 \(\omega=\sqrt{\frac{(M+m)g}{ml}}\)。
初学者探索过程
从“竖直圆周运动临界”开始探索
先把“B9：打夯机”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“B9：打夯机”后，判断为什么“把向心力当成物体额外受到的一种力”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“最高最低点受力、不断约束条件判断”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把向心力当成物体额外受到的一种力。
检查这个想法：先执行：先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[\omega=\sqrt{\frac{(M+m)g}{ml}}\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“最高最低点受力”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“不断约束条件判断”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[\omega=\sqrt{\frac{(M+m)g}{ml}}\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“最高最低点受力、不断约束条件判断”如何受条件变化控制。
现实同构案例
弯道、转盘与旋转设备：现实中的“竖直圆周运动临界”
现实场景
车辆转弯、离心机、游乐设施和工业转盘都需要由接触力或约束力持续改变速度方向。
题目与现实如何对应
题目中的圆心、半径和转速对应设备的旋转轴、工作半径和运行转速；支持力、摩擦力或拉力对应现实中的结构载荷。 当前题目“B9：打夯机”训练的“最高最低点受力、不断约束条件判断”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[\omega=\sqrt{\frac{(M+m)g}{ml}}\]
更一般的模型关系是：
\[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]
无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 现实接触面的摩擦系数会随材料和温度变化。
- 高速转动还要考虑振动、形变和安全系数。
带回原题想一想
把“B9：打夯机”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力”建立模型。可先使用：
\[\omega=\sqrt{\frac{(M+m)g}{ml}}\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[\omega=\sqrt{\frac{(M+m)g}{ml}}\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：打夯机临界转速
**基础设问**
打夯机支架质量 \(M=18\,\mathrm{kg}\)，铁球质量 \(m=2\,\mathrm{kg}\)，轻杆长 \(l=0.5\,\mathrm{m}\)。取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)，求支架刚好可能离地时的角速度。
**综合提升**
把原约束改为“只能拉、不能推”的轻绳，小球在竖直圆周内运动，半径为 \(r\)。（1）求恰能通过最高点的最小最高点速度；（2）若全过程只有重力做功，求对应的最小最低点速度；（3）求该临界状态最低点绳张力；（4）若半径改为 \(\lambda r\)，给出三者的缩放关系。
变式答案
**1. 基础设问**
最高点时铁球对支架的竖直作用可能向上。临界离地满足 \((M+m)g=m\omega^2l\)，所以 \(\omega=\sqrt{\frac{(M+m)g}{ml}}=\sqrt{\frac{20\times10}{2\times0.5}}=10\sqrt2\,\mathrm{rad/s}\)。
**2. 综合提升**
最高点临界张力为零：
\[mg=m\frac{v_t^2}{r}\Rightarrow v_{t,\min}=\sqrt{gr}.\]
由最低点到最高点上升 \(2r\)：\(v_b^2=v_t^2+4gr=5gr\)，故 \(v_{b,\min}=\sqrt{5gr}\)。最低点
\[T_b-mg=m\frac{v_b^2}{r}\Rightarrow T_b=6mg.\]
半径乘 \(\lambda\) 后两临界速度均乘 \(\sqrt\lambda\)，临界张力仍为 \(6mg\)。
思路提示
**基础思路**
找最高点、地面对支架支持力为零的临界条件，把整机竖直方向受力写出来。
**进阶思路**
先用约束力为零确定最高点临界，再用能量把临界状态传到最低点；这比只比较某一位置多了一层全过程联系。
真题拓展
摩天轮座舱的速度、合力与机械能
高考真题 · 高度同构
2019年江苏卷 · 第6题
该真题与当前题同属“圆周运动动力学”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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