题目
圆盘直径为 \(d\)，飞镖距圆盘距离为 \(L\)，飞镖对准圆盘上边缘 \(A\) 点以水平速度 \(v_0\) 抛出。飞镖抛出的同时，圆盘绕过圆心 \(O\) 且垂直盘面的水平轴以角速度 \(\omega\) 匀速转动。若飞镖恰好击中 \(A\) 点，判断 \(\omega,d,L,v_0,g\) 的关系。
选项
- A. \(dv_0^2=L^2g\)
- B. \(\omega L=(1+2n)\pi v_0\)，\(n=0,1,2,3,\ldots\)
- C. \(v_0=\frac{\omega d}{2}\)
- D. \(d\omega^2=(1+2n)^2\pi^2g\)，\(n=0,1,2,3,\ldots\)
学习定位
圆周运动动力学
题族：旋转目标与穿越计时
训练能力：直线与转动时间匹配、周期性条件判断
前置知识：匀速圆周运动、匀速直线运动
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参考答案
整体解析
分步解析
1. 飞镖飞行时间
飞镖水平方向做匀速运动，飞到圆盘的时间为 \(t=\frac{L}{v_0}\)。
2. 竖直下落量
飞镖竖直方向做自由落体，下降量为 \(y=\frac{1}{2}gt^2\)。
3. 圆盘转角条件
圆盘同一时间转过 \(\theta=\omega t\)。命中条件是飞镖下落后的坐标与圆盘上 \(A\) 点转动后的坐标相同。
初学者探索过程
从“旋转目标与穿越计时”开始探索
先把“例5：飞镖与转盘游戏”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“例5：飞镖与转盘游戏”后，判断为什么“把向心力当成物体额外受到的一种力”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“直线与转动时间匹配、周期性条件判断”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把向心力当成物体额外受到的一种力。
检查这个想法：先执行：先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[\theta=\omega t\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“直线与转动时间匹配”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“周期性条件判断”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[\theta=\omega t\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“直线与转动时间匹配、周期性条件判断”如何受条件变化控制。
现实同构案例
弯道、转盘与旋转设备：现实中的“旋转目标与穿越计时”
现实场景
车辆转弯、离心机、游乐设施和工业转盘都需要由接触力或约束力持续改变速度方向。
题目与现实如何对应
题目中的圆心、半径和转速对应设备的旋转轴、工作半径和运行转速；支持力、摩擦力或拉力对应现实中的结构载荷。 当前题目“例5：飞镖与转盘游戏”训练的“直线与转动时间匹配、周期性条件判断”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[\theta=\omega t\]
更一般的模型关系是：
\[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]
无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 现实接触面的摩擦系数会随材料和温度变化。
- 高速转动还要考虑振动、形变和安全系数。
带回原题想一想
把“例5：飞镖与转盘游戏”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力”建立模型。可先使用：
\[\theta=\omega t\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[\theta=\omega t\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：飞镖命中转盘
**基础设问**
飞镖水平射向距自己 \(L=2.0\,\mathrm{m}\) 的转盘，初速度 \(v_0=4.0\,\mathrm{m/s}\)。若转盘需要在飞行时间内转过 \(90^\circ\)，求角速度 \(\omega\)。
**综合提升**
在原“平动—转动”模型中加入启动延迟：抛体先运动 \(\tau\) 后转盘才以角速度 \(\omega\) 启动。设抛体到达转盘的总时间为 \(t_f\)，目标从启动位置到命中位置所需相位为 \(\varphi+2n\pi\)。（1）推导全部可行角速度；（2）给出存在解的时间条件；（3）求最小正角速度对应的圈数；（4）说明竖直位移条件为何仍须独立检查。
变式答案
**1. 基础设问**
飞行时间 \(t=\frac{L}{v_0}=\frac{2.0}{4.0}=0.50\,\mathrm{s}\)。转角 \(\Delta\theta=90^\circ=\frac{\pi}{2}\)，故 \(\omega=\frac{\Delta\theta}{t}=\pi\,\mathrm{rad/s}\)。
**2. 综合提升**
转盘实际转动时间为 \(t_f-\tau\)，故
\[\omega_n=\frac{\varphi+2n\pi}{t_f-\tau},\qquad n=0,1,2,\ldots\]
必须有 \(t_f>\tau\)。在 \(\varphi>0\) 时最小正角速度通常取满足几何方向的最小非负 \(n\)。相位条件只保证材料点转到正确方向，抛体还必须满足 \(x=v_0t_f\) 与 \(y=gt_f^2/2\) 等空间坐标条件。
思路提示
**基础思路**
飞镖水平位移给时间，转盘命中条件给转角，二者用同一个时间连接。
**进阶思路**
先由平动锁定总时间，再扣除延迟得到有效转动时间；周期性用整数 \(n\) 表示，几何坐标另行验算。
真题拓展
摩天轮座舱的速度、合力与机械能
高考真题 · 高度同构
2019年江苏卷 · 第6题
该真题与当前题同属“圆周运动动力学”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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