题目
如图甲所示为建筑行业使用的一种小型打夯机，其原理可简化为一个质量为 \(M\) 的支架（含电动机）上由一根长为 \(l\) 的轻杆带动一个质量为 \(m\) 的铁球（铁球可视为质点），如图乙所示，重力加速度为 \(g\)。若在某次打夯过程中，铁球以角速度 \(\omega\) 匀速转动，则（ ）
选项
- A. 铁球转动过程线速度不变
- B. 铁球做圆周运动的向心加速度大小是 \(\omega^2l+g\)
- C. 铁球转动到最低点时，打夯机整体对地面压力最大
- D. 若铁球转动到最高点时，支架对地面的压力刚好为零，则 \(\omega=\sqrt{\frac{(M+m)g}{ml}}\)
学习定位
圆周运动动力学
题族：竖直圆周运动临界
训练能力：最高最低点受力、不断约束条件判断
前置知识：机械能守恒、向心力
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 线速度是矢量
铁球匀速转动时速率大小为 \(v=\omega l\)，但方向不断改变，所以线速度不变是错的，A 错。
2. 向心加速度只指向圆心
铁球做半径为 \(l\) 的匀速圆周运动，向心加速度大小为 \(a_c=\omega^2l\)，不能再把 \(g\) 加进去，B 错。
3. 地面压力随铁球位置变化
对“支架 + 铁球”整体看，最低点铁球竖直加速度向上，地面对打夯机的支持力 \(N_{\text{低}}=(M+m)g+m\omega^2l\)；最高点铁球竖直加速度向下，支持力 \(N_{\text{高}}=(M+m)g-m\omega^2l\)。所以最低点压力最大，C 对。
4. 最高点临界
最高点 \(\sin\theta=1\)，若支架对地面压力刚好为零，则 \(0=(M+m)g-m\omega^2l\)，解得 \(\omega=\sqrt{\frac{(M+m)g}{ml}}\)，D 对。
初学者探索过程
从“竖直圆周运动临界”开始探索
先把“第9题：打夯机”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“第9题：打夯机”后，判断为什么“把向心力当成物体额外受到的一种力”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“最高最低点受力、不断约束条件判断”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把向心力当成物体额外受到的一种力。
检查这个想法：先执行：先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[v=\omega l,\qquad a_c=\omega^2l,\qquad N=(M+m)g+m\omega^2l\cos\theta\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“最高最低点受力”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“不断约束条件判断”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[v=\omega l,\qquad a_c=\omega^2l,\qquad N=(M+m)g+m\omega^2l\cos\theta\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“最高最低点受力、不断约束条件判断”如何受条件变化控制。
现实同构案例
弯道、转盘与旋转设备：现实中的“竖直圆周运动临界”
现实场景
车辆转弯、离心机、游乐设施和工业转盘都需要由接触力或约束力持续改变速度方向。
题目与现实如何对应
题目中的圆心、半径和转速对应设备的旋转轴、工作半径和运行转速；支持力、摩擦力或拉力对应现实中的结构载荷。 当前题目“第9题：打夯机”训练的“最高最低点受力、不断约束条件判断”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[v=\omega l,\qquad a_c=\omega^2l,\qquad N=(M+m)g+m\omega^2l\cos\theta\]
更一般的模型关系是：
\[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]
无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 现实接触面的摩擦系数会随材料和温度变化。
- 高速转动还要考虑振动、形变和安全系数。
带回原题想一想
把“第9题：打夯机”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力”建立模型。可先使用：
\[v=\omega l,\qquad a_c=\omega^2l,\qquad N=(M+m)g+m\omega^2l\cos\theta\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[v=\omega l,\qquad a_c=\omega^2l,\qquad N=(M+m)g+m\omega^2l\cos\theta\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：打夯机地面压力的全过程
### 基础设问
打夯机内铁球做竖直平面圆周运动。若铁球在最高点向心加速度大小为 \(a_c\)，判断机器对地面的压力相对静止时如何变化。
### 综合提升
铁球以角速度 \(\omega\) 在竖直平面内做半径 \(l\) 的匀速圆周运动，令 \(\theta\) 从最低点量起。（1）写出地面对整机支持力 \(N(\theta)\)；（2）求最大、最小值及平均值；（3）求不离地的角速度条件；（4）若角速度缓慢变化，说明临界最先出现在哪一位置。
变式答案
### 1. 基础设问
最高点铁球加速度向下，对铁球有 \(mg+N=ma_c\)。铁球对机器的作用力方向向上，机器对地面压力会小于总重；若在最低点，则作用力向下，地面压力增大。
### 2. 综合提升
整体竖直方向有
\[N(\theta)=(M+m)g+m\omega^2l\cos\theta.\]
因此 \(N_{\max}=(M+m)g+m\omega^2l\) 在最低点，\(N_{\min}=(M+m)g-m\omega^2l\) 在最高点；一周平均值为 \((M+m)g\)。不离地要求 \(N_{\min}\ge0\)，即
\[\omega^2\le\frac{(M+m)g}{ml}.\]
角速度增大时最高点最先达到零压力临界。
思路提示
### 1. 基础思路
把铁球和机器分开受力，再用牛顿第三定律把铁球对机器的作用转回地面压力。
### 2. 进阶思路
把最低点、最高点两个特例统一成角度函数，再从函数直接读极值、平均值和接触条件。
真题拓展
摩天轮座舱的速度、合力与机械能
高考真题 · 高度同构
2019年江苏卷 · 第6题
该真题与当前题同属“圆周运动动力学”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
查看题目资料