题目
一面积很大的水池水深为 \(H\)，水面上浮着正方体木块，木块边长为 \(a\)，密度为水的 \(\frac12\)，质量为 \(m\)，开始时木块静止。现用力 \(F\) 将木块缓慢地向下压，不计摩擦。求从开始压木块到木块刚好完全没入水的过程中，力 \(F\) 所做的功。
学习定位
功率、动能与功能关系
题族：变力做功与图像面积
训练能力：力位移图像读取、面积求功
前置知识：功的定义、函数图像
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 确定初末浸入深度
木块密度为水的一半，漂浮时排开水的体积为木块体积的一半，所以初始浸入深度为 \(a/2\)。完全浸没前还需下压 \(a/2\)。
2. 写出外力随位移的变化
设向下位移为 \(x\)，其中 \(0\le x\le a/2\)。缓慢运动时 \(F+mg=F_{\mathrm{浮}}\)，而新增浮力与 \(x\) 成正比，故 \(F=\frac{2mg}{a}x\)。
易错点
- 把缓慢下压过程中的外力当成恒力
3. 用图像面积求变力功
\(F-x\) 图像是一条从 \(0\) 增至 \(mg\) 的直线。外力功为三角形面积 \(W=\frac12\cdot\frac a2\cdot mg=\frac14mga\)。
初学者探索过程
从“变力做功与图像面积”开始探索
先把“例5：缓慢下压漂浮木块”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“例5：缓慢下压漂浮木块”后，判断为什么“把缓慢下压过程中的外力当成恒力”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“力位移图像读取、面积求功”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把缓慢下压过程中的外力当成恒力。
检查这个想法：先执行：先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[\sum W=\Delta E_k\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“力位移图像读取”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“面积求功”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[\sum W=\Delta E_k\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“力位移图像读取、面积求功”如何受条件变化控制。
现实同构案例
车辆动力、制动与能耗：现实中的“变力做功与图像面积”
现实场景
车辆加速、制动、起重和工业驱动都需要把功率输入与速度变化、阻力损耗和工作时间联系起来。
题目与现实如何对应
题目中的力、位移、速度和功率对应现实设备的驱动力、行程、运行状态和能源输出。 当前题目“例5：缓慢下压漂浮木块”训练的“力位移图像读取、面积求功”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[\sum W=\Delta E_k\]
更一般的模型关系是：
\[\sum W=\Delta E_k\]
合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实驱动系统存在效率损失。
- 阻力和输出功率通常随速度变化。
带回原题想一想
把“例5：缓慢下压漂浮木块”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负”建立模型。可先使用：
\[\sum W=\Delta E_k\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[\sum W=\Delta E_k\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：密度不同的木块
**基础设问**
边长为 \(a\)、质量为 \(m\) 的正方体木块密度为水的 \(\frac34\)。缓慢下压至刚好完全浸没，求外力做功。
**综合提升**
把原过程中的合力推广为随位移变化的 \(F(x)=F_0-kx\)。（1）求从 \(0\) 到 \(x\) 的总功；（2）由动能定理求速度函数；（3）求速度最大的位移；（4）若 \(F-x\) 图线不是直线，说明怎样由图像判断功与动能变化。
变式答案
**1. 基础设问**
初始浸深为 \(3a/4\)，下压距离 \(a/4\)，末态外力为 \(F_{\max}=F_{\mathrm{浮}}-mg=mg/3\)。故 \(W=\frac12\cdot\frac a4\cdot\frac{mg}{3}=\frac{mga}{24}\)。
**2. 综合提升**
总功为
\[W(x)=\int_0^x(F_0-k\xi)d\xi=F_0x-\frac12kx^2.\]
若初速度为 \(v_0\)，则 \(v^2=v_0^2+2W/m\)。速度最大处满足合力变号的临界 \(F(x)=0\)，即 \(x=F_0/k\)。一般 \(F-x\) 图像下的有符号面积就是功，也就是动能变化。
思路提示
**基础思路**
先由密度比确定初始浸入比例，再找出外力的初值、末值与位移，利用线性变化的平均力求功。
**进阶思路**
把定值计算提升为函数分析：先积出功，再从功的导数就是合力判断动能的极值。
真题拓展
高速列车通过隧道的最短时间
高考真题 · 同一考点
2022年全国甲卷 · 物理部分第2题
该真题与当前题同属“功率、动能与功能关系”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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