题目
一辆汽车在平直公路上由静止开始启动，质量为 \(2\times10^3\,\mathrm{kg}\)。汽车的加速度 \(a\) 与速度倒数 \(1/v\) 的关系如图：低速阶段 \(a=3\,\mathrm{m/s^2}\)，恒功率段直线经过 \((1/v=1/15\,\mathrm{s/m},a=3\,\mathrm{m/s^2})\) 并在 \(1/v=1/60\,\mathrm{s/m}\) 处与横轴相交。下列结论正确的是（ ）。
选项
- A. 汽车匀加速运动的时间为 \(3\,\mathrm s\)
- B. 发动机的额定功率为 \(120\,\mathrm{kW}\)
- C. 汽车所受的阻力为 \(4\times10^3\,\mathrm N\)
- D. 汽车速度为 \(10\,\mathrm{m/s}\) 时，发动机功率为 \(120\,\mathrm{kW}\)
学习定位
功率、动能与功能关系
题族：机车恒功率与分段启动
训练能力：牵引力速度关系、分阶段运动建模
前置知识：功率公式、动能定理
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 写出恒功率段关系
恒功率阶段 \(F=P/v\)，由 \(F-f=ma\) 得 \(a=\frac Pm\frac1v-\frac fm\)。因此 \(a-1/v\) 直线斜率为 \(P/m\)，纵轴截距为 \(-f/m\)。
2. 由两点求功率
图线斜率为 \(\frac{3-0}{1/15-1/60}=60\,\mathrm{m^2/s^3}\)，故 \(P=m\times60=1.2\times10^5\,\mathrm W=120\,\mathrm{kW}\)。B 对。
3. 判断其余选项
横轴交点对应最大速度 \(60\,\mathrm{m/s}\)，所以 \(f=P/v_{\max}=2000\,\mathrm N\)，C 错。匀加速到 \(15\,\mathrm{m/s}\) 需 \(t=15/3=5\,\mathrm s\)，A 错。速度 \(10\,\mathrm{m/s}\) 仍处于恒牵引力阶段，功率 \(P=Fv=(ma+f)v=8000\times10=80\,\mathrm{kW}\)，D 错。
初学者探索过程
从“机车恒功率与分段启动”开始探索
先把“课后单选第5题：加速度与速度倒数图像”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“课后单选第5题：加速度与速度倒数图像”后，判断为什么“把某一个力的功直接等同于动能变化”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“牵引力速度关系、分阶段运动建模”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把某一个力的功直接等同于动能变化。
检查这个想法：先执行：先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[t=15/3\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“牵引力速度关系”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“分阶段运动建模”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[t=15/3\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“牵引力速度关系、分阶段运动建模”如何受条件变化控制。
现实同构案例
车辆动力、制动与能耗：现实中的“机车恒功率与分段启动”
现实场景
车辆加速、制动、起重和工业驱动都需要把功率输入与速度变化、阻力损耗和工作时间联系起来。
题目与现实如何对应
题目中的力、位移、速度和功率对应现实设备的驱动力、行程、运行状态和能源输出。 当前题目“课后单选第5题：加速度与速度倒数图像”训练的“牵引力速度关系、分阶段运动建模”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[t=15/3\]
更一般的模型关系是：
\[\sum W=\Delta E_k\]
合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实驱动系统存在效率损失。
- 阻力和输出功率通常随速度变化。
带回原题想一想
把“课后单选第5题：加速度与速度倒数图像”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负”建立模型。可先使用：
\[t=15/3\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[t=15/3\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：由直线斜率求额定功率
**基础设问**
质量 \(m=1000\,\mathrm{kg}\) 的汽车恒功率阶段满足：当 \(1/v=0.10\,\mathrm{s/m}\) 时 \(a=4\,\mathrm{m/s^2}\)，当 \(1/v=0.02\,\mathrm{s/m}\) 时 \(a=0\)。求额定功率和阻力。
**综合提升**
质量为 \(m\) 的车辆在恒定阻力 \(f\) 下以恒功率 \(P\) 加速。（1）写出牵引力和加速度关于速度的函数；（2）求极限速度；（3）若从速度 \(v_1\) 加速到 \(v_2\)，写出时间积分式；（4）解释为什么接近极限速度时继续提速越来越慢。
变式答案
**1. 基础设问**
斜率 \(P/m=4/(0.10-0.02)=50\)，故 \(P=50\,\mathrm{kW}\)。由 \(a=0\) 时 \(v=50\,\mathrm{m/s}\)，得 \(f=P/v=1000\,\mathrm N\)。
**2. 综合提升**
恒功率阶段
\[F=\frac Pv,\qquad a(v)=\frac1m\left(\frac Pv-f\right),\qquad v_m=\frac Pf.\]
时间满足
\[t=\int_{v_1}^{v_2}\frac{m\,dv}{P/v-f}=m\int_{v_1}^{v_2}\frac{v\,dv}{P-fv}.\]
当 \(v\to v_m\) 时牵引力趋近阻力，合力与加速度趋近零，所以达到极限速度只是一种渐近过程。
思路提示
**基础思路**
先从 \(a-1/v\) 图线斜率得到 \(P/m\)，再用横轴交点对应的最大速度求阻力。
**进阶思路**
由 \(P=Fv\) 把恒功率转成随速度减小的牵引力，再进入牛顿第二定律；这比只算某一时刻多了函数与极限。
真题拓展
高速列车通过隧道的最短时间
高考真题 · 同一考点
2022年全国甲卷 · 物理部分第2题
该真题与当前题同属“功率、动能与功能关系”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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