题目
如图，固定在水平地面上的斜面 \(aO\)、\(bO\) 及曲面 \(cO\) 等底不等高。一物体与三个面间的动摩擦因数相同。物体从三个面顶端自由滑到各自底端的过程中，克服摩擦力做的功分别为 \(W_1、W_2、W_3\)，则三者大小关系为（ ）。
选项
- A. \(W_1>W_2>W_3\)
- B. \(W_1=W_2\lt W_3\)
- C. \(W_1\lt W_2\lt W_3\)
- D. \(W_1=W_2=W_3\)
学习定位
功率、动能与功能关系
题族：变方向力做功
训练能力：路径微元分析、几何约束转化
前置知识：功的定义、弧长与位移
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 比较两条直斜面
直斜面上 \(f=\mu mg\cos\theta\)，斜面长 \(s=L/\cos\theta\)，故克服摩擦力做功 \(W=fs=\mu mgL\)，只由共同水平底边 \(L\) 决定。因此 \(W_1=W_2\)。
易错点
- 只比较斜面长度，不同时比较支持力
2. 分析凹曲面支持力
物体沿凹曲面运动时，支持力除平衡重力法向分量外，还要提供指向曲率中心的法向加速度，因此 \(N>mg\cos\theta\)，相应滑动摩擦力更大。
3. 得出结论
曲面上每个微元的摩擦功都包含额外的法向动力学贡献，所以 \(W_3>\mu mgL=W_1=W_2\)。答案为 B。
初学者探索过程
从“变方向力做功”开始探索
先把“例7：三条轨道上的摩擦功”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“例7：三条轨道上的摩擦功”后，判断为什么“因物体回到原位就误判总功为零”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“路径微元分析、几何约束转化”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：因物体回到原位就误判总功为零。
检查这个想法：先执行：先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[W_3>\mu mgL=W_1=W_2\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“路径微元分析”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“几何约束转化”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[W_3>\mu mgL=W_1=W_2\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“路径微元分析、几何约束转化”如何受条件变化控制。
现实同构案例
车辆动力、制动与能耗：现实中的“变方向力做功”
现实场景
车辆加速、制动、起重和工业驱动都需要把功率输入与速度变化、阻力损耗和工作时间联系起来。
题目与现实如何对应
题目中的力、位移、速度和功率对应现实设备的驱动力、行程、运行状态和能源输出。 当前题目“例7：三条轨道上的摩擦功”训练的“路径微元分析、几何约束转化”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[W_3>\mu mgL=W_1=W_2\]
更一般的模型关系是：
\[\sum W=\Delta E_k\]
合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实驱动系统存在效率损失。
- 阻力和输出功率通常随速度变化。
带回原题想一想
把“例7：三条轨道上的摩擦功”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负”建立模型。可先使用：
\[W_3>\mu mgL=W_1=W_2\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[W_3>\mu mgL=W_1=W_2\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：等底直斜面比较
**基础设问**
两个粗糙直斜面水平投影均为 \(L\)，倾角分别为 \(30^\circ\) 和 \(60^\circ\)，动摩擦因数均为 \(\mu\)。同一物块分别从顶端滑到底端，求两次克服摩擦力做功之比。
**综合提升**
把原题中的恒力推广为方向或大小随路径参数 \(s\) 变化的力 \(\vec F(s)\)。（1）写出总功的积分表达式；（2）给出瞬时功率；（3）说明同一始末位置沿不同路径做功何时相同；（4）设计一个由 \(P-t\) 图像反求总功的方法。
变式答案
**1. 基础设问**
两次均有 \(W=\mu mg\cos\theta\cdot L/\cos\theta=\mu mgL\)，故比值为 \(1:1\)。
**2. 综合提升**
总功和瞬时功率分别为
\[W=\int_{s_1}^{s_2}\vec F(s)\cdot d\vec s,\qquad P=\vec F\cdot\vec v=\frac{dW}{dt}.\]
只有保守力的功才只由始末位置决定；一般外力功与路径有关。\(P-t\) 图像的有符号面积 \(\int Pdt\) 就是总功。
思路提示
**基础思路**
把斜面长度写成水平投影除以 \(\cos\theta\)，与摩擦力中的 \(\cos\theta\) 抵消。
**进阶思路**
从定力公式升级到线积分与功率积分，可统一处理变大小、变方向和分段做功。
真题拓展
高速列车通过隧道的最短时间
高考真题 · 同一考点
2022年全国甲卷 · 物理部分第2题
该真题与当前题同属“功率、动能与功能关系”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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