题目
固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块并绕过光滑定滑轮，以大小恒定的拉力 \(F\) 拉绳，使滑块从 \(A\) 点由静止开始上升。滑块从 \(A\) 点上升至 \(B\) 点和从 \(B\) 点上升至 \(C\) 点的过程中，轻绳对滑块做的功分别为 \(W_1\) 和 \(W_2\)，且 \(AB=BC\)，则（ ）。
选项
- A. \(W_1>W_2\)
- B. \(W_1\lt W_2\)
- C. \(W_1=W_2\)
- D. 无法确定 \(W_1\) 和 \(W_2\) 的大小关系
学习定位
功率、动能与功能关系
题族：变方向力做功
训练能力：路径微元分析、几何约束转化
前置知识：功的定义、弧长与位移
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 把拉力功转成绳长变化
轻绳张力恒为 \(F\)。滑块上升时，滑块到定滑轮的斜绳段变短，张力对滑块做功等于 \(F\) 乘该斜绳段的缩短量。
2. 比较相等高度内的缩短量
设滑轮水平距离为 \(d\)，滑块到滑轮的竖直距离为 \(z\)，斜绳长 \(L=\sqrt{d^2+z^2}\)。滑块越接近滑轮，\(|\mathrm dL/\mathrm dz|=z/\sqrt{d^2+z^2}\) 越小。
3. 得出功的大小关系
在较低的 \(AB\) 段，等高位移使斜绳缩短得更多；在较高的 \(BC\) 段缩短较少。因此 \(W_1>W_2\)，答案为 A。
易错点
- 因为 \(AB=BC\) 就直接判断两次功相等
初学者探索过程
从“变方向力做功”开始探索
先把“课后单选第2题：竖直滑块的绳拉力做功”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“课后单选第2题：竖直滑块的绳拉力做功”后，判断为什么“因物体回到原位就误判总功为零”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“路径微元分析、几何约束转化”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：因物体回到原位就误判总功为零。
检查这个想法：先执行：先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[|\mathrm dL/\mathrm dz|=z/\sqrt{d^2+z^2}\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“路径微元分析”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“几何约束转化”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[|\mathrm dL/\mathrm dz|=z/\sqrt{d^2+z^2}\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“路径微元分析、几何约束转化”如何受条件变化控制。
现实同构案例
车辆动力、制动与能耗：现实中的“变方向力做功”
现实场景
车辆加速、制动、起重和工业驱动都需要把功率输入与速度变化、阻力损耗和工作时间联系起来。
题目与现实如何对应
题目中的力、位移、速度和功率对应现实设备的驱动力、行程、运行状态和能源输出。 当前题目“课后单选第2题：竖直滑块的绳拉力做功”训练的“路径微元分析、几何约束转化”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[|\mathrm dL/\mathrm dz|=z/\sqrt{d^2+z^2}\]
更一般的模型关系是：
\[\sum W=\Delta E_k\]
合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实驱动系统存在效率损失。
- 阻力和输出功率通常随速度变化。
带回原题想一想
把“课后单选第2题：竖直滑块的绳拉力做功”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负”建立模型。可先使用：
\[|\mathrm dL/\mathrm dz|=z/\sqrt{d^2+z^2}\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[|\mathrm dL/\mathrm dz|=z/\sqrt{d^2+z^2}\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：给定几何尺寸
**基础设问**
定滑轮距竖直杆水平距离 \(d=2\,\mathrm m\)。滑块在 \(A、B、C\) 三点距滑轮的竖直距离分别为 \(4\,\mathrm m、3\,\mathrm m、2\,\mathrm m\)，绳张力恒为 \(F=10\,\mathrm N\)。求 \(W_1\) 和 \(W_2\)。
**综合提升**
把原题中的恒力推广为方向或大小随路径参数 \(s\) 变化的力 \(\vec F(s)\)。（1）写出总功的积分表达式；（2）给出瞬时功率；（3）说明同一始末位置沿不同路径做功何时相同；（4）设计一个由 \(P-t\) 图像反求总功的方法。
变式答案
**1. 基础设问**
\(W_1=10(\sqrt{20}-\sqrt{13})\,\mathrm J\)，\(W_2=10(\sqrt{13}-\sqrt8)\,\mathrm J\)，且 \(W_1>W_2\)。
**2. 综合提升**
总功和瞬时功率分别为
\[W=\int_{s_1}^{s_2}\vec F(s)\cdot d\vec s,\qquad P=\vec F\cdot\vec v=\frac{dW}{dt}.\]
只有保守力的功才只由始末位置决定；一般外力功与路径有关。\(P-t\) 图像的有符号面积 \(\int Pdt\) 就是总功。
思路提示
**基础思路**
分别求三个位置的斜绳长度，张力功等于相邻两位置斜绳长度减少量乘 \(F\)。
**进阶思路**
从定力公式升级到线积分与功率积分，可统一处理变大小、变方向和分段做功。
真题拓展
高速列车通过隧道的最短时间
高考真题 · 同一考点
2022年全国甲卷 · 物理部分第2题
该真题与当前题同属“功率、动能与功能关系”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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