题目
（多选）同一高度处有 \(4\) 个质量相同且可视为质点的小球。小球 \(A\) 做自由落体运动，小球 \(B\) 做平抛运动，小球 \(C\) 做竖直上抛运动，小球 \(D\) 做竖直下抛运动，且小球 \(B、C、D\) 抛出时的初速度大小相同。不计空气阻力。小球从释放或抛出到落地的过程中（ ）。
选项
- A. 重力对 \(4\) 个小球做的功相同
- B. 重力对 \(4\) 个小球做功的平均功率相等
- C. 落地前瞬间，重力对 \(4\) 个小球的瞬时功率大小关系为 \(P_A=P_B\lt P_C=P_D\)
- D. 重力对 \(4\) 个小球做功的平均功率大小关系为 \(\bar P_A=\bar P_B>\bar P_C=\bar P_D\)
学习定位
功率、动能与功能关系
题族：速度方向与瞬时功率
训练能力：瞬时速度确定、功率正负判断
前置知识：瞬时功率、速度分解
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 比较重力做功
重力是保守力，重力做功只由初末高度差决定。四球质量相同、初末高度相同，故均有 \(W_G=mgh\)，A 正确。
易错点
- 按运动轨迹长短比较重力功
2. 比较运动时间与平均功率
\(A、B\) 的竖直分运动相同，所以 \(t_A=t_B\)；竖直下抛的 \(D\) 最先落地，竖直上抛的 \(C\) 最后落地。由于四球重力功相同，平均功率满足 \(\bar P_D>\bar P_A=\bar P_B>\bar P_C\)，B、D 错。
3. 比较落地瞬时功率
重力瞬时功率大小为 \(P=mg|v_y|\)。落地时 \(A、B\) 的竖直速度均为 \(\sqrt{2gh}\)；\(C、D\) 的竖直速度大小均为 \(\sqrt{v_0^2+2gh}\)。故 \(P_A=P_B\lt P_C=P_D\)，C 正确。
易错点
- 用合速度而不是竖直速度计算重力功率
初学者探索过程
从“速度方向与瞬时功率”开始探索
先把“课后多选第9题：四种抛体的重力功率”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“课后多选第9题：四种抛体的重力功率”后，判断为什么“物体反向后仍把摩擦力画向左”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“瞬时速度确定、功率正负判断”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：物体反向后仍把摩擦力画向左。
检查这个想法：先执行：先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[P_A=P_B\lt P_C=P_D\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“瞬时速度确定”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“功率正负判断”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[P_A=P_B\lt P_C=P_D\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“瞬时速度确定、功率正负判断”如何受条件变化控制。
现实同构案例
车辆动力、制动与能耗：现实中的“速度方向与瞬时功率”
现实场景
车辆加速、制动、起重和工业驱动都需要把功率输入与速度变化、阻力损耗和工作时间联系起来。
题目与现实如何对应
题目中的力、位移、速度和功率对应现实设备的驱动力、行程、运行状态和能源输出。 当前题目“课后多选第9题：四种抛体的重力功率”训练的“瞬时速度确定、功率正负判断”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[P_A=P_B\lt P_C=P_D\]
更一般的模型关系是：
\[\sum W=\Delta E_k\]
合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实驱动系统存在效率损失。
- 阻力和输出功率通常随速度变化。
带回原题想一想
把“课后多选第9题：四种抛体的重力功率”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负”建立模型。可先使用：
\[P_A=P_B\lt P_C=P_D\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[P_A=P_B\lt P_C=P_D\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：两种抛体重力功率
**基础设问**
从高度 \(h=20\,\mathrm m\) 同时释放小球甲，并以 \(v_0=10\,\mathrm{m/s}\) 竖直下抛同质量小球乙。取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)。比较两球落地前瞬间重力的功和瞬时功率。
**综合提升**
把原题中的恒力推广为方向或大小随路径参数 \(s\) 变化的力 \(\vec F(s)\)。（1）写出总功的积分表达式；（2）给出瞬时功率；（3）说明同一始末位置沿不同路径做功何时相同；（4）设计一个由 \(P-t\) 图像反求总功的方法。
变式答案
**1. 基础设问**
两球重力功都为 \(mgh=200m\,\mathrm J\)。甲落地竖直速度 \(20\,\mathrm{m/s}\)，乙为 \(10\sqrt5\,\mathrm{m/s}\)，故瞬时功率之比 \(P_{\甲}:P_{\乙}=2:\sqrt5\)。
**2. 综合提升**
总功和瞬时功率分别为
\[W=\int_{s_1}^{s_2}\vec F(s)\cdot d\vec s,\qquad P=\vec F\cdot\vec v=\frac{dW}{dt}.\]
只有保守力的功才只由始末位置决定；一般外力功与路径有关。\(P-t\) 图像的有符号面积 \(\int Pdt\) 就是总功。
思路提示
**基础思路**
重力功只看高度差；瞬时功率则看落地瞬间沿重力方向的速度分量。
**进阶思路**
从定力公式升级到线积分与功率积分，可统一处理变大小、变方向和分段做功。
真题拓展
高速列车通过隧道的最短时间
高考真题 · 同一考点
2022年全国甲卷 · 物理部分第2题
该真题与当前题同属“功率、动能与功能关系”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
查看题目资料